Question

如圖，已知矩形ABCD中，BC=12，ACB=30º，動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作等邊△PMN，點(diǎn)M、N在直線BC上，取BC的中點(diǎn)O，以O(shè)B為邊在Rt△ABC內(nèi)部作如圖所示的矩形BOEF，點(diǎn)E在線段AC上.

（1）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)等邊△PMN和矩形BOEF重合部分面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)0≤t≤2時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3），，，

【解析】

試題分析：（1）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長(zhǎng)，再利用解直角三角形求出PN的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)當(dāng)0≤t≤1時(shí)以及當(dāng)t=1時(shí)和當(dāng)t=2時(shí)，分別求出S的值；

（3）分三種情況①EF=MF，②EF=ME，③MF=ME，分別建立方程求解即可．

試題解析：（1）（1）過(guò)P作PH⊥BC于H，

∵BC=12，∠ACB=30°，∴AB=，∴AC=2AB=，

∵AP=，∴PC=，∵△BPH∽△BAO，∴，∴PH=，

∵cos30°=，∴PN=，

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S1=S四邊形EONG，作GH⊥OB于H，如圖3，

∵∠GNH=60°，GH=，∴HN=2，∵PN=NB=8﹣t，∴ON=OB﹣NB，∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t，

∴OH=4+t﹣2=2+t，

S1=（2+t+4+t）×=，

當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如圖4，S2=S五邊形IFONG，作GH⊥OB于H，

∵AP2=，∴AF=，∴OF=，

∴EF=，∴EI=2t﹣2，

∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI=，

∴；

（3）由（1）知：MB=4-2t，∴MO=10-2t，∴，∴，

①當(dāng)EF=MF時(shí)，即，∴，∴或<0（舍去），

②當(dāng)EF=ME時(shí)，即，∴，∴或，

③當(dāng)MF=ME時(shí)，即，∴．

綜上所述，當(dāng)或或或時(shí)，△EFM是等腰三角形．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．