Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．

①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①S=(t-3)2+9（0＜t＜6）②點R坐標為（3，﹣18）

【解析】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由題意知點A（0，﹣12），

所以c=﹣12，

又18a+c=0，

，

∵AB∥OC，且AB=6，

∴拋物線的對稱軸是，

∴b=﹣4，

所以拋物線的解析式為；

（2）①，（0＜t＜6）

②當t=3時，S取最大值為9．

這時點P的坐標（3，﹣12），

點Q坐標（6，﹣6）

若以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：

（Ⅰ）當點R在BQ的左邊，且在PB下方時，點R的坐標（3，﹣18），將（3，﹣18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點R的坐標就是（3，﹣18），

（Ⅱ）當點R在BQ的左邊，且在PB上方時，點R的坐標（3，﹣6），將（3，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．

（Ⅲ）當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，點R的坐標（9，﹣6），將（9，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．

綜上所述，點R坐標為（3，﹣18）．