Question

【題目】如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC,將一直角三角板按圖中所示的方式擺放（∠MON=900）

探究一：將圖①中的三角板繞點0順時針方向旋轉一定的角度得到圖②，使邊OM恰好平分∠BOC。若∠BOC=500，ON是否平分∠A0C? 請說明理由；

探究二：將圖①中的三角板繞點O時針旋轉一定的角度得到圖③，

（1）使邊ON在∠BOC的內部，如果∠BOC=600，則∠BOM與∠CON之間存在怎樣的數量關系？請說明理由。

（2）使邊ON在∠BOC的內部，則∠BOM與∠NOC之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】探究一、ON平分∠AOC,理由見解析；探究二、（1）∠BOM-∠CON=300 ，理由見解析；（2）∠BOM＝∠NOC＋30°, 理由見解析.

【解析】

探究一：角平分線的定義可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM＋∠AON＝90°，∠MOC＋∠NOC＝90°，根據等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC；

探究二：（1）根據題意可知∠NOC＋∠NOB＝60°，∠BOM＋∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°∠NOB、∠BON＝60°∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC＋30°．

（2）根據∠CON＋∠NOB＝60°、∠BOM＋∠NOB＝90°可得∠BOM＝∠NOC＋30°．

解：探究一、ON平分∠AOC，

理由如下：∵OM平分∠BOC，且∠BOC=50°

∴∠BOM=∠COM=25°

∵∠MON=90°

∴∠CON=90°-25°=65°

∵∠AON=180°-90°-25°=65°

∴∠CON=∠AON

∴ON平分∠AOC

探究二、（1）∠BOM-∠CON=30°

∵∠MON=90°

∴∠BON=90°-∠BOM

∵∠BOC=60°

∴∠BON=60°-∠CON

∴90°-∠BOM=60°-∠CON

即：∠BOM-∠CON=300 .

（2）∠BOM＝∠NOC＋30°．理由如下：

∵∠CON＋∠NOB＝60°，∠BOM＋∠NOB＝90°

∴∠BOM＝∠NOC＋30°．