Question

如圖一塊三角形土地的底邊BC=100m，高線AH=80m，現要沿著底邊BC修建一座底面是矩形DEFG的大樓，設矩形DEFG的一邊長DE=x（m）．
（1）矩形DEFG的另一邊長DG是多少（用關于x的代數式表示）；   
（2）試用關于x代數式表示大樓底面矩形DEFG的面積S；
（3）當DE為多少時，大樓底面的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的應用,二次函數的應用

專題：應用題

分析：（1）DE=x，則MH=x，AM=AH-MH=80-x，證明△ADG∽△ABC，利用相似比可求出DG的長；
（2）根據矩形的面積公式易得S=-

5

4

x²+100x（0＜x＜80）；
（3）利用二次函數的最值問題求解．

解答：解：（1）DE=x，則MH=x，AM=AH-MH=80-x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

DG

BC

=

AM

AH

，即

DG

100

=

80-x

80

，
∴DG=（-

5

4

x+100）m；
（2）S=DE•DG
=x（-

5

4

x+100）
=-

5

4

x²+100x（0＜x＜80）；
（3）y=-

5

4

x²+100x
當x=-

100

2×(- 5 4 )

=40時，S_最大值=

0-1002

4×(- 5 4 )

=2000，
即DE為40m時，大樓底面的面積最大，最大值是2000m²．

點評：本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；借助標桿或直尺測量物體的高度．也考查了二次函數的應用．