Question

已知邊長為4的正方形ABCD，頂點A與坐標原點重合，一反比例函數(shù)圖象過頂點C，動點P以每秒1個單位速度從點A出發(fā)沿AB方向運動，動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發(fā)沿正方形的邊DC-CB-BA方向順時針折線運動，當點P與點Q相遇時停止運動，設點P的運動時間為t．
（1）求出該反比例函數(shù)解析式；
（2）連接PD，當以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時，求點Q的坐標；
（3）用含t的代數(shù)式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積s，并指出相應t的取值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形ABCD的邊長為4，可得C的坐標為（4，4），再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；
（2）分點Q在CD，BC，AB邊上，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求得點Q的坐標；
（3）分點Q在CD，BC，AB邊上，由三角形面積公式和組合圖形的面積計算即可求解．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，
∴C的坐標為（4，4），
設反比例解析式為y=

k

x

將C的坐標代入解析式得：k=16，則反比例解析式為y=

16

x

； （2分）
（2）當Q在DC上時，如圖所示：

此時△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=

4

5

，
則DQ=4t=

16

5

，即Q₁（

16

5

，4）；
當Q在BC邊上時，有兩個位置，如圖所示：

若Q在上邊，則△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=

4

3

，
則QB=8-4t=

8

3

，此時Q₂（4，

8

3

）；
若Q在下邊，則△APD≌△BQA，
則AP=BQ，即8-4t=t，解得t=

8

5

，
則QB=

8

5

，即Q₃（4，

8

5

）；
當Q在AB邊上時，如圖所示：

此時△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=

8

3

，
因為0≤t≤

12

5

，所以舍去．
綜上所述Q₁（

16

5

，4）； Q₂（4，

8

3

），Q₃（4，

8

5

）
（3）當0＜t≤1時，Q在DC上，DQ=4t，則s=

1

2

×4t×4=8t；
當1≤t≤2時，Q在BC上，則BP=4-t，CQ=4t-4，AP=t，
則s=S_{正方形ABCD}-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=16-

1

2

AP•AD-

1

2

PB•BQ-

1

2

DC•CQ=16-

1

2

t×4-

1

2

（4-t）•【4-（4t-4）】-

1

2

×4（4t-4）═-2t²+2t+8；
當2≤t≤

12

5

時，Q在AB上，PQ=12-5t，則s=

1

2

×4×（12-5t），即s=-10t+24．
總之，s₁=8t（0＜t≤1）；
s₂=-2t²+2t+8（1≤t≤2）；
s₃=-10t+24（2≤t≤

12

5

）

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計算，分類思想，綜合性較強，有一定的難度．