Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若AB=2，連接BD，求BD長．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質

專題：

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，可得△ABC是等邊三角形，又由AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，可得△ACD是等邊三角形，繼而證得結論；
（2）由四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，易得AC與BD互相垂直且平分，然后由含30°角的直角三角形的性質，求得答案．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∴∠FAC=∠ACE=120°，
∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，
∴∠DAC=∠DCA=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD=AC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．

 （2）解：∵四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，
∴OA=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，
∴BD=2OB=2

3

．

點評：此題考查了菱形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．