Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點B，且頂點在直線x＝上．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；

(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合)，過點M作MN∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

(1) .(2)是，理由見解析；（3）(，).（4）當(dāng)時，S取最大值是.此時，點M的坐標(biāo)為(0，).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點B（0，4），以及頂點在直線x=上，得出b，c即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2時，y的值即可．

（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時，求出y即可；

（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出，得到ON=t，進而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．

試題解析：（1）∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點B(0，4)，∴c＝4.

∵頂點在直線x＝上，∴，解得.

∴所求函數(shù)關(guān)系式為.

（2）C、D兩點的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)，

當(dāng)x＝5時，；

當(dāng)x＝2時，.

∴點C和點D都在所求拋物線上.

（3）設(shè)CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，

設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，

則，解得，.∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為

當(dāng)x＝時，.∴P(，).

（4） (0＜t＜4).

∵，

∴當(dāng)時，S取最大值是.此時，點M的坐標(biāo)為(0，).

考點：二次函數(shù)綜合題．