Question

如圖，⊙的半徑為，正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在⊙上運(yùn)動．

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)、在同一條直線上時,試證明直線與⊙相切；

(2)當(dāng)直線與⊙相切時，求所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，正方形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值與最小值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）y=x+或y=x-；（3）S=13-5x，18，8.

【解析】

試題分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD與圓相交于點(diǎn)D，故直線CD與⊙O相切；

（2）分兩種情況，①D1點(diǎn)在第二象限時，②D2點(diǎn)在第四象限時，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得比例關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得CD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；

（3）設(shè)D（x，y0），有S=BD2=（26-10x）=13-5x；再根據(jù)x的范圍可得面積的最大最小值．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD⊥CD，

∵A、O、D在同一條直線上，

∴∠ODC=90°，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）【解析】
直線CD與⊙O相切分兩種情況：

①如圖1，

設(shè)D1點(diǎn)在第二象限時，

過D1作D1E1⊥x軸于點(diǎn)E1，設(shè)此時的正方形的邊長為a，

∴（a-1）2+a2=52，

∴a=4或a=-3（舍去），

∵Rt△BOA∽Rt△D1OE1

∴，

∴OE1=，D1E1=，

∴D1(?，)．

∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為y=?x．

∵AD1⊥CD1，

∴設(shè)直線CD1的解析式為y=x+b，

把D1(?，)代入解析式得b=；

∴函數(shù)解析式為y=x+．

②如圖2，

設(shè)D2點(diǎn)在第四象限時，過D2作D2E2⊥x軸于點(diǎn)E2，

設(shè)此時的正方形的邊長為b，則（b+1）2+b2=52，

解得b=3或b=-4（舍去）．

∵Rt△BOA∽Rt△D2OE2，

∴，

∴OE2=，D2E2=，

∴D2(，?)，

∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為y=?x．

∵AD2⊥CD2，

∴設(shè)直線CD2的解析式為y=x+b，

把D2(，?)代入解析式得b=-；

∴函數(shù)解析式為y=x-．

（3）【解析】
設(shè)D（x，y0），

∴y0=±，

∵B（5，0），

∴BD2=（5-x）2+（1-x2）=26-10x，

∴S=BD2=（26-10x）=13-5x，

∵-1≤x≤1，

∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.一次函數(shù)綜合題；3.正方形的性質(zhì)；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．