Question

如圖，將直角三角形余料截出一個(gè)矩形PMCN，∠C=90°，AC=40cm，BC=30cm，點(diǎn)P、M、N分別在AB、AC、BC上，設(shè)CN=x．
（1）試用含x的代數(shù)式表示PN；
（2）設(shè)矩形PMCN的面積為y（cm²），當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）由PN∥AC，可得△BPN∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

PN

AC

=

BN

BC

，進(jìn)而得到用含x的代數(shù)式表示PN的式子；
（2）根據(jù)矩形PMCN的面積=PN•CN得出y與x的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵將直角三角形余料截出一個(gè)矩形PMCN，∠C=90°，點(diǎn)P、M、N分別在AB、AC、BC上，
∴PN∥AC，
∴△BPN∽△BAC，
∴

PN

AC

=

BN

BC

，即

PN

40

=

30-x

30

，
∴PN=

4(30-x)

3

；

（2）∵矩形PMCN的面積=PN•CN=

4(30-x)

3

•x=-

4

3

x²+40x，
∴y=-

4

3

x²+40x=-

4

3

（x-15）²+300，
∴當(dāng)x=15cm時(shí)，y的值最大，最大值是300cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，其中涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的面積公式，二次函數(shù)的最值的確定．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到用含x的代數(shù)式表示PN的式子是解題的關(guān)鍵．