【題目】已知拋物線為正整數(shù),且)與軸的交點(diǎn)為,,當(dāng)時(shí),第1條拋物線軸的交點(diǎn)為,其他依次類推.

1)求,的值及拋物線的解析式;

2)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( , );依次類推,第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( , );所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是

3)探究下列結(jié)論:

①是否存在拋物線,使得為等腰直角三角形?若存在,請求出拋物線的表達(dá)式;若不存在,請說明理由;

②若直線與拋物線分別交于則線段,,…則線段,…的長有何規(guī)律?請用含的代數(shù)式表示.

【答案】1,,;(23,9,;(3)①存在,,②

【解析】

(1)A1(20),則C1=2,則C2=2+2=4,將點(diǎn)A、A1的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可求得,,由A1(20),則C1=2,則C2=2+2=4,即可求得答案;

(2)同理可得:a3=3,b3=9,依此推出點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,n2),故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是:y=x2,即可求解;
(3)①△AAnBn為等腰直角三角形,則AAn2=2ABn2,即(2n)2=2(n2+n4),即可求解;
②由題意得,,求得 ,即可求解.

(1)當(dāng)時(shí),第1條拋物線軸的交點(diǎn)為,,

,

可知,

∴拋物線軸的交點(diǎn)為,

;

故答案為:,,;

(2)同理可得:拋物線軸的交點(diǎn)為,

,

a3=3,b3=9,

,
依此推出:點(diǎn)(n,n2)
故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是:y=x2,
故答案為: 39,,,;

(3)①存在,由(1),(2),

當(dāng)為等腰直角三角形,則AAn2=2ABn2,即

,

解得,(舍去)

∴存在拋物線使得為等腰直角三角形,

此時(shí)拋物線為:

②∵

當(dāng)時(shí),,,

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