Question

【題目】實(shí)驗(yàn)探究題
（1）操作發(fā)現(xiàn)：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在線段BC上（不與點(diǎn)B重合），連接AD，將線段AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，如圖①所示，請直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
（2）猜想論證：
在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長線上時(shí)，請你在圖②中畫出圖形并判斷（1）中的結(jié)論是否成立，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：
如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于度時(shí)，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立（點(diǎn)C、E重合除外）？此時(shí)若作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，且當(dāng)AC=3 時(shí)，請直接寫出線段CF的長的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：CE=BD，CE⊥BD；

理由：如圖①中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（2）

解：結(jié)論：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

如圖②中，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（3）45；
【解析】（3）①結(jié)論：當(dāng)銳角∠ACB=45°時(shí)，CE⊥BD．理由如下：
如圖③中，過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC為等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四邊形MCEN為平行四邊形，
∵∠AMC=90°，
∴四邊形MCEN為矩形，
∴∠DCF=90°，
∴EC⊥BD．
②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴ = ，
設(shè)DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=3 ，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，
∴ = ，
∴CF=﹣ x2+x=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴當(dāng)x=1.5時(shí)，CF有最大值，最大值為 ．
故答案為45， ；
（1.）只要證明△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）結(jié)論不變．證明的方法與（1）一樣．
（3.）①當(dāng)銳角∠ACB=45°時(shí)，CE⊥BD．過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
②由Rt△AMD∽Rt△DCF，得 = ，由此構(gòu)建二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值．