【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+bx上有兩點A、C,分別過A、C作x軸的垂線,垂足分別為點B、點D,OC與AB相交于點E.已知點A(1,3),且△AOB≌△OCD.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P為線段OC上一動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點F,當四邊形AEPF為平行四邊形時,求點P坐標;
(3)如圖2,若△AOB沿AC方向由A→C平移得到△A′O′B′,在平移過程中,△AOB與△OCD的重疊部分的面積記為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出A′的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x 2+x; (2) (2,) ;(3)見解析.
【解析】分析:(1)由全等三角形的性質(zhì)得到OB=CD,AB=OD.即可得到C的坐標,把A、C的坐標代入,解方程即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)直線OC的解析式為:y=kx,把C的坐標代入即可得到k的值,從而得到E的坐標.設(shè)點P(m,m),則F(m,m2+m ) .要使四邊形AEPF為平行四邊形 ,則AE=PF ,解方程即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)A′B′交x軸于T,交OC于Q,A′O′交x軸于K,交OC于R.求得直線AC的解析式為y=-x+4,可設(shè)點A′的橫坐標為t,則點A′(t,-t +4 ),點Q的坐標為(t,) .
過點R作RF⊥A′B′于點F,由相似三角形的性質(zhì)可求出RF的長,由△A′KT∽△A′O′B′可求出KT的長,進而得到A′Q的長,由S四邊形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ得到S是關(guān)于t的二次函數(shù),配方即可得出結(jié)論.
詳解:(1)∵△AOB≌△OCD,∴OB=CD,AB=OD.
∵A(1,3),∴C(3,1),
∴,
解得:a=,b=,∴拋物線的解析式為y=x 2+x,
(2)設(shè)直線OC的解析式為:y=kx,則1=3k ,∴k=,∴E(1,).
設(shè)點P(m,m),則F(m,m2+m ) .
要使四邊形AEPF為平行四邊形 ,則AE=PF ∴3-=m2+m-m,
∴m=1(不合題意,舍去)或m=2 ∴P(2,),∴當四邊形AEPF為平行四邊形時,P點的坐標為(2,).
(3)設(shè)A′B′交x軸于T,交OC于Q,A′O′交x軸于K,交OC于R.求得直線AC的解析式為y=-x+4,可設(shè)點A′的橫坐標為t,則點A′(t,-t +4 ),∴點Q的坐標為(t,) .
過點R作RF⊥A′B′于點F.
∵△A′RQ∽△AOE,∴,∴RF==,
由△A′KT∽△A′O′B′得,∴KT=A′T= (4-t),A′Q=(-t+4)-=,
∴S四邊形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=KT·A′T-A′Q·RF=·(4-t)-· ,
==,∴當t=2時,S最大,∴A′(2,2) .
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【題目】位于河南省鄭州市的炎黃二帝巨型塑像,是為代表中華民族之創(chuàng)始、之和諧、之統(tǒng)一.塑像由山體CD和頭像AD兩部分組成.某數(shù)學興趣小組在塑像前50米處的B處測得山體D處的仰角為45°,頭像A處的仰角為70.5°,求頭像AD的高度.(最后結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列判定中,正確的個數(shù)有( )
①一組對邊平行,一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;
②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;
③對角線互相垂直的四邊形是菱形;
④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】學校準備購進一批A、B兩型號節(jié)能燈,已知2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元;1只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需19元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元?
(2)學校準備購進這兩種型號的節(jié)能燈共100只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的2倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案.
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【題目】世界杯比賽中,根據(jù)場上攻守形勢,守門員會在門前來回跑動,如果以球門線為基準,向前跑記作正數(shù),返回則記作負數(shù),一段時間內(nèi),某守門員的跑動情況記錄如下(單位:m):+10,﹣2,+5,﹣6,+12,﹣9,+4,﹣14.(假定開始計時時,守門員正好在球門線上)
(1)守門員最后是否回到球門線上?
(2)守門員離開球門線的最遠距離達多少米?
(3)如果守門員離開球門線的距離超過10米(不包括10米),則對方球員挑射極可能造成破門.請問在這一時間段內(nèi),對方球員有幾次挑射破門的機會?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是 圓O的直徑,OB=3,BC是圓 O的弦,∠ABC的平分線交圓 O于點 D,連接OD,若∠BAC=20°,弧AD的長等于_______.
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【題目】有理數(shù)<0 、>0 、>0,且.
(1)在數(shù)軸上將a、b、c三個數(shù)填在相應(yīng)的括號中.
(2)化簡:.
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【題目】某校初一(1)、(2)兩個班共104人去某地參觀.每班人數(shù)都在60以內(nèi),其中(1)班人數(shù)較少,不到50人.該展覽的門票價格規(guī)定:單張票價格為15元;購票人數(shù)在51-100人每人門票價為13元;100人以上每人門票價為10元.經(jīng)估算,如果兩班都以班為單位分別購票,則一共應(yīng)付1448元;如果兩班聯(lián)合起來,作為一個團體購票,則可以節(jié)省不少錢
請問:①兩班各有多少名學生?
②兩班聯(lián)合起來購票能省多少錢?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,直線與雙曲線交于點,點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集 .
(3)將直線沿軸向下平移后,分別與軸,軸交于點,點,當四邊形為平行四邊形時,求直線的表達式.
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