【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),且=0.
(1)直接寫出 A、B、C 各點的坐標:A_______;B__________;C_____;
(2)過 B 作直線 MN⊥AB,P 為線段 OC 上的一動點,AP⊥PH 交直線 MN 于點 H,證明:PA=PH.
(3)在(1)的條件下,若在點 A 處有一個等腰 Rt△APQ 繞點 A 旋轉,且 AP=PQ,∠APQ=90°,連接 BQ,點 G 為 BQ 的中點,試猜想線段 OG 與線段 PG 的數量關系與位置關系,并證明你的結論.
【答案】(1)( 0,3),(3,0),(﹣3,0);(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)根據非負數的性質得到a=3,b=3,C=-3,于是得到結論;
(2)利用A(0,3)、B(3,0) ,C(-3,0),得到ΔABC,ΔOAC,ΔOAB都是等腰直角三角形,如圖1,過點P作PG//AB交y軸與G,則∠4=∠6=45,再證明ΔAPG≌ΔPHB,得到PA=PH.
(3)OG=PG,OG⊥PG,理由:如圖2,延長PG到R,使GR=PG,連接PO,OR,BR,證明
ΔPQG≌ΔBRG,得到PQ=BR,∠5=∠GBR,進而AP⊥PQ,再延長AP交BR于S,交OB于T,則AP⊥BR,證明ΔPAO≌ΔRBO得到PO=OR,∠1=∠2,所以ΔPOR為等腰直角三角形,根據PG=GR,所以OG⊥PG,OG=PG.
解:(1)∵=0,
又∵≥0,|b﹣3|≥0,(c+3)2≥0,
∴a=b=3,c=﹣3,
∴A(0,3),B(3,0),C(﹣3,0),故答案為(0,3),(3,0),(﹣3,0).
(2)∵A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
∴OA=OB=OC,
∴△ABC,△OAC,△OAB 都是等腰直角三角形,
∴∠6=∠7=45°,
如圖 1,過點 P 作 PG∥AB 交 y 軸與 G,則∠4=∠6=45°,
∴OP=OG,
∴AO+OG=OB+OP,
即 AG=PB,
∵AP⊥PH,
∴∠2+∠5=90°,
∵∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠2,
∵MN⊥AB,
∴∠3+∠7=90°,
∴∠3=45°,
∴∠3=∠4,
在△APG 和△PHB 中,
∴△APG≌△PHB(ASA),
∴PA=PH .
(3)結論:OG=PG,OG⊥PG,
理由:如圖 2,延長 PG 到 R,使 GR=PG,連接 PO,OR,BR,
在△PQG 和△BRG 中,
∴△PQG≌△BRG(SAS),
∴PQ=BR,∠5=∠GBR,
∴PQ∥BR,
∵AP⊥PQ,
延長 AP 交 BR 于 S,交 OB 于 T,則 AP⊥BR,
∵∠AOB=∠ASB=90°,∠ATR=∠BTS,
∴∠α=∠β,
∵PA=PQ,PQ=BR,
∴PA=BR,
在△PAO 和△RBO 中,
∴△PAO≌△RBO(SAS),
∴PO=OR ,∠1=∠2,
∵∠1+∠POB=90°,
∴∠POB+∠2=90°,
∴△POR 為等腰直角三角形,
∵PG=GR,
∴OG⊥PG,OG=PG.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中線,AE是∠BAD的角平分線,DF∥AB交AE的延長線于點E,則DF的長為( )
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名射擊運動員中進行射擊比賽,兩人在相同條件下各射擊10次,射擊的成績如圖所示.
根據圖中信息,回答下列問題:
(1)甲的平均數是___________,乙的中位數是______________;
(2)分別計算甲、乙成績的方差,并從計算結果來分析,你認為哪位運動員的射擊成績更穩(wěn)定?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校組織340名師生進行長途考察活動,帶有行李170件,計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共10輛.經了解,甲車每輛最多能載40人和16件行李,乙車每輛最多能載30人和20件行李.
(1)請你幫助學校設計所有可行的租車方案.
(2)如果甲車的租金為每輛2 000元,乙車的租金為每輛1 800元,問哪種可行方案使租車費用最?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】圖1是某娛樂節(jié)目中一個游戲環(huán)節(jié)的錄制現場,場地由等邊△ADE和正方形ABCD組成,正方形ABCD兩條對角線交于點O,在AD的中點P處放置了一臺主攝像機.游戲參與者行進的時間為x,與主攝像機的距離為y,若游戲參與者勻速行進,且表示y與x的函數關系式大致如圖2所示,則游戲參與者的行進路線可能是( )
A.A→O→D
B.E→A→C
C.A→E→D
D.E→A→B
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,數軸上A,B兩點對應的有理數分別為xA=﹣5和xB=6,動點P從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿數軸在A,B之間往返運動,同時動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿數軸在B,A之間往返運動.設運動時間為t秒.
(1)當t=2時,點P對應的有理數xP=______,PQ=______;
(2)當0<t≤11時,若原點O恰好是線段PQ的中點,求t的值;
(3)我們把數軸上的整數對應的點稱為“整點”,當P,Q兩點第一次在整點處重合時,直接寫出此整點對應的數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某環(huán)保小組為了了解世博園的游客在園區(qū)內購買瓶裝飲料數量的情況,一天,他們分別在A,B,C三個出口處對離開園區(qū)的游客進行調查,并將在A出口調查所得到的數據整理后繪成了如圖所示的統(tǒng)計圖:
(1)在A出口的被調查游客中,購買2瓶及2瓶以上飲料的游客人數占A出口的被調查游客人數的______%;
(2)試問:A出口的被調查游客在園區(qū)內人均購買了多少瓶飲料?
(3)已知B,C兩個出口的被調查游客在園區(qū)內人均購買飲料的數量如下表所示:
出口 | B | C |
人均購買飲料數量(瓶) | 3 | 2 |
若C出口的被調查人數比B出口的被調查人數多2萬人,且B,C兩個出口的被調查游客在園區(qū)內共購買了49萬瓶飲料,試問:B出口的被調查游客有多少萬人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C為⊙O上的點,PC過O點,交⊙O于D點,PD=OD,若OB⊥AC于E點.
(1)判斷A是否是PB的中點,并說明理由;
(2)若⊙O半徑為8,試求BC的長.
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