Question

如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE、CD相交于點(diǎn)O．
①如圖甲，求證：△ABE≌△ADC；
②探究：如圖甲，∠BOC的度數(shù)為

 

；如圖乙，∠BOC的度數(shù)為

 

；如圖丙，∠BOC的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DAC≌△BAE；
②根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BOC的值，在圖乙中，連結(jié)BD，然后用同樣的方法證明△DAC≌△BAE，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出∠BOC的值，依此類推就可以得出當(dāng)作五邊形的時(shí)候就可以求出圖丙∠BOC的值．

解答：①證明：如圖甲，

∵△ABD和△AEC是等邊三角，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADC+∠OBA，
∴∠BOC=∠BDA+∠OBD=60°+60°=120°．
如圖乙，連結(jié)BD，

∵四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，∠BDA=∠DBA=45°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠DBA=45°+45°=90°；
如圖丙，連結(jié)BD，

∵五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=108°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE，∠ABD=∠ADB=36°
∴∠BAE=∠DAC
在△BAE和△DAC中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=∠OBD+∠BDO，
∴∠BOC=∠ADB+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABD=72°．
故答案為：120°；90° 72°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，正五邊形的性質(zhì)的運(yùn)用及正n邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．