Question

如圖，平面直線坐標(biāo)中，A（-1，0），點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且AC=

10

，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，CB=3

2

．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線t：x=1是線段AB的垂直平分線，在直線t上是否存在點(diǎn)M，使M、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線t上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足△PAC周長(zhǎng)最小，當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DE∥BC交x軸于點(diǎn)E，連PE、PD，且CD=m＞0，請(qǐng)求出△PDE面積S與m函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)CD為多長(zhǎng)時(shí)，S_△PDE面積最大．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC，然后在Rt△OBC中利用勾股定理計(jì)算出OB，則可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m），分類討論：當(dāng)AM=AC時(shí)，（1+1）²+m²=（

10

）²；當(dāng)CM=CA時(shí)，1²+（m-3）²=（

10

）²；當(dāng)MA=MC時(shí)，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，然后分別解方程求出m，再確定滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)P為直線x=1與BC的交點(diǎn)時(shí)，△PAC周長(zhǎng)最小，由于△OBC為等腰直角三角形，DE∥BC，則可判斷△ODE為等腰直角三角形，得到OE=OD=3-m，易確定P（1，2），接著利用S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE進(jìn)行計(jì)算得到S_△PDE=-

1

2

m²+

3

2

m，再利用配方法得到S_△PDE=-

1

2

（m-

3

2

）²+

9

8

，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
在Rt△AOC中，OC=

AC2-OA2

=

( 10 )2-12

=3，
在Rt△OBC中，OB=

BC2-OC2

=

(3 2 )2-32

=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
（2）存在．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m），
當(dāng)AM=AC時(shí)，（1+1）²+m²=（

10

）²，解得m=±

6

，則此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

6

）或（1，-

6

）；
當(dāng)CM=CA時(shí)，1²+（m-3）²=（

10

）²，解得m=0或m=6（點(diǎn)A、C、M共線，舍去），則此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
當(dāng)MA=MC時(shí)，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，解得m=1，則此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

6

）或（1，-

6

）或（1，0）或（1，1）；
（3）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)P為直線x=1與BC的交點(diǎn)時(shí)，△PAC周長(zhǎng)最小，
∵OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∵DE∥BC，
∴△ODE為等腰直角三角形，
∴OE=OD=3-m，
直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2，則P（1，2），
S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE
=

1

2

×3×3-

1

2

×1×m-

1

2

（3-m）²-

1

2

×m×2
=-

1

2

m²+

3

2

m
=-

1

2

（m-

3

2

）²+

9

8

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S_△PDE面積最大，最大值為

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩直線平行的問題和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段長(zhǎng)，會(huì)解決最短路程的問題．