Question

如圖，平面直線坐標中，A（-1，0），點C為y軸正半軸上一點，且AC=

10

，B為x軸正半軸上一點，CB=3

2

．
（1）求B點坐標；
（2）直線t：x=1是線段AB的垂直平分線，在直線t上是否存在點M，使M、A、C三點構成的△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設點P為直線t上一動點，且滿足△PAC周長最小，當點D在線段OC上運動時，過點D作DE∥BC交x軸于點E，連PE、PD，且CD=m＞0，請求出△PDE面積S與m函數(shù)關系式，并求當CD為多長時，S_△PDE面積最大．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC，然后在Rt△OBC中利用勾股定理計算出OB，則可得到B點坐標；
（2）設M點的坐標為（1，m），分類討論：當AM=AC時，（1+1）²+m²=（

10

）²；當CM=CA時，1²+（m-3）²=（

10

）²；當MA=MC時，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，然后分別解方程求出m，再確定滿足條件的M點的坐標；
（3）利用兩點之間線段最短得到當點P為直線x=1與BC的交點時，△PAC周長最小，由于△OBC為等腰直角三角形，DE∥BC，則可判斷△ODE為等腰直角三角形，得到OE=OD=3-m，易確定P（1，2），接著利用S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE進行計算得到S_△PDE=-

1

2

m²+

3

2

m，再利用配方法得到S_△PDE=-

1

2

（m-

3

2

）²+

9

8

，然后根據二次函數(shù)的最值問題求解．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
在Rt△AOC中，OC=

AC2-OA2

=

( 10 )2-12

=3，
在Rt△OBC中，OB=

BC2-OC2

=

(3 2 )2-32

=3，
∴B點坐標為（3，0）；
（2）存在．
設M點的坐標為（1，m），
當AM=AC時，（1+1）²+m²=（

10

）²，解得m=±

6

，則此時M點的坐標為（1，

6

）或（1，-

6

）；
當CM=CA時，1²+（m-3）²=（

10

）²，解得m=0或m=6（點A、C、M共線，舍去），則此時M點的坐標為（1，0）；
當MA=MC時，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，解得m=1，則此時M點的坐標為（1，1），
綜上所述，M點的坐標為（1，

6

）或（1，-

6

）或（1，0）或（1，1）；
（3）∵點A與點B關于直線x=1對稱，
∴當點P為直線x=1與BC的交點時，△PAC周長最小，
∵OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∵DE∥BC，
∴△ODE為等腰直角三角形，
∴OE=OD=3-m，
直線BC的解析式為y=-x+3，
當x=1時，y=-x+3=2，則P（1，2），
S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE
=

1

2

×3×3-

1

2

×1×m-

1

2

（3-m）²-

1

2

×m×2
=-

1

2

m²+

3

2

m
=-

1

2

（m-

3

2

）²+

9

8

，
∴當m=

3

2

時，S_△PDE面積最大，最大值為

9

8

．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、兩直線平行的問題和等腰三角形的性質；會運用兩點間的距離公式計算線段長，會解決最短路程的問題．