【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).
(1)若以C、E、F為頂點的三角形與以A、B、C為頂點的三角形相似. ①當(dāng)AC=BC=2時,AD的長為;
②當(dāng)AC=3,BC=4時,AD的長為;
(2)當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△CBA相似嗎?請說明理由.
【答案】
(1);1.8或2.5
(2)解:當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△CBA相似.理由如下:
如答圖3所示,連接CD,與EF交于點Q.
∵CD是Rt△ABC的中線,
∴CD=DB= AB,
∴∠DCB=∠B.
由折疊性質(zhì)可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠CFE=∠A,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△CEF∽△CBA.
【解析】解:(1)若△CEF與△ABC相似. ①當(dāng)AC=BC=2時,△ABC為等腰直角三角形,如答圖1所示.
此時D為AB邊中點,AD= AC= ;
②當(dāng)AC=3,BC=4時,有兩種情況:
a.若CE:CF=3:4,如答圖2所示.
∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥AB.
由折疊性質(zhì)可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此時CD為AB邊上的高.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∴cosA= .
AD=ACcosA=3× =1.8;
b.若CF:CE=3:4,如答圖3所示.
∵△CEF∽△CBA,∴∠CEF=∠B.
由折疊性質(zhì)可知,∠CEF+∠ECD=90°,
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠ECD,∴AD=CD.
同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD,
∴此時AD= AB= ×5=2.5.
綜上所述,當(dāng)AC=3,BC=4時,AD的長為1.8或2.5.
【考點精析】關(guān)于本題考查的翻折變換(折疊問題)和相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
求證:a2+b2=5c2
該同學(xué)仔細分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故 ,設(shè)PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計算,消去m,n即可得證
(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.
(2)利用題中的結(jié)論,解答下列問題:在邊長為3的菱形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖2所示,求MG2+MH2的值.
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【題目】端午節(jié)期間,揚州某商場為了吸引顧客,開展有獎促銷活動,設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤被分成4個面積相等的扇形,四個扇形區(qū)域里分別標有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字樣(如圖).規(guī)定:同一日內(nèi),顧客在本商場每消費滿100元就可以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,商場根據(jù)轉(zhuǎn)盤指針指向區(qū)域所標金額返還相應(yīng)數(shù)額的購物券,某顧客當(dāng)天消費240元,轉(zhuǎn)了兩次轉(zhuǎn)盤.
(1)該顧客最少可得元購物券,最多可得元購物券;
(2)請用畫樹狀圖或列表的方法,求該顧客所獲購物券金額不低于50元的概率.
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【題目】如圖是某地下商業(yè)街的入口,數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運用所學(xué)的知識測量側(cè)面支架的最高點E到地面的距離EF.經(jīng)測量,支架的立柱BC與地面垂直,即∠BCA=90°,且BC=1.5m,點F、A、C在同一條水平線上,斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC=30°,支撐桿DE⊥AB于點D,該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD=60°,又測得AD=1m.請你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長度.
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【題目】2012年我國國民經(jīng)濟運行總體平穩(wěn),全年全國公共財政收入117210億元,2008﹣2012年全國公共財政收入及其增長速度情況如圖所示:
(1)這五年中全國公共財政收入增長速度最高的年份是年;
(2)2012年的全國公共財政收入比2011年多億元;
(3)這五年的全國公共財政收入增長速度的平均數(shù)是 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點A(0,1),B(1,2),點P在x軸上運動,當(dāng)點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時,點P的坐標是 .
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【題目】某公司有甲種原料260kg,乙種原料270kg,計劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共40件.生產(chǎn)每件A種產(chǎn)品需甲種原料8kg,乙種原料5kg,可獲利潤900元;生產(chǎn)每件B種產(chǎn)品需甲種原料4kg,乙種原料9kg,可獲利潤1100元.設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件.
(1)完成下表
甲(kg) | 乙(kg) | 件數(shù)(件) | |
A | 5x | x | |
B | 4(40﹣x) | 40﹣x |
(2)安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)有幾種方案?試說明理由;
(3)設(shè)生產(chǎn)這批40件產(chǎn)品共可獲利潤y元,將y表示為x的函數(shù),并求出最大利潤.
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【題目】下面給出的正多邊形的邊長都是20cm,請分別按下列要求設(shè)計一種剪拼方法(用虛線表示你的設(shè)計方案,把剪拼線段用粗黑實線,在圖中標注出必要的符號和數(shù)據(jù),并作簡要說明.
(1)將圖1中的正方形紙片剪拼成一個底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面積與原正方形面積相等;
(2)將圖2中的正三角形紙片剪拼成一個底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面積與原正三角形的面積相等;
(3)將圖3中的正五邊形紙片剪拼成一個底面是正五邊形的直五棱柱模型,使它的表面積與原正五邊形的面積相等.
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【題目】如圖,在△ABC中,BC>AC , 點D在BC上,且DC=AC , ∠ACB的平分線CF交AD于F , 點E是AB的中點,連接EF .
(1)求證:2EF=BD ,
(2)四邊形BDFE的面積為6,求△ABD的面積.
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