Question

【題目】如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，OA=4，且OA，OB長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實(shí)根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM，交x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)．

（1）求證：CD是⊙M的切線； （2）求線段ON的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） NO=．

【解析】試題分析：（1）由OA、OB長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實(shí)根，OA=4，則OA×OB=12，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得OB=3，即可得⊙M的半徑為1.5；因BM=CM=1.5，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBA=∠BCM；連結(jié)OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，D為OA的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得OD=AD=CD=2， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAC=∠ACD，又因∠OAC+∠OBA=90°，即可得∠BCM+∠ACD=90°，由此即可判定CD是⊙M的切線．（2）先判斷△NOM∽△NCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

試題解析：

（1）OA、OB長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實(shí)根，OA=4，則OA×OB=12，

得OB=3，⊙M的半徑為1.5；

∵BM=CM=1.5，

∴∠OBA=∠BCM．

連結(jié)OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，D為OA的中點(diǎn)，

∴OD=AD=CD=2，

∴∠OAC=∠ACD，

又∵∠OAC+∠OBA=90°，

∴∠BCM+∠ACD=90°，

∴∠NCD=90°，

∴CD是⊙M的切線．

（2）∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，

∴△NOM∽△NCD，

∴=，即=，

∴NO=．