Question

如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數(shù)．
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm．動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設(shè)運動時間為t(s) ，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．

①當t＝4時，求PH的長．
②探究滿足條件的點H的個數(shù)（直接寫出點H的個數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

（1）尺規(guī)作圖正確，痕跡清楚.
（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點）……… (2分)
（2）4個.…………………………………………………………………… (4分)
（3）①當t＝4時，PH＝或PH＝2或PH＝3 .……………………… (7分)
②當0≤t＜4時，有2個勾股點；
當t＝4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5時，有4個勾股點；
當t＝5時，有2個勾股點；
當5＜t＜8時，有4個勾股點；
當t＝8時，有2個勾股點．
綜上所述，當0≤t＜4或t＝5或t＝8時，有2個勾股點；
當t＝4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點. …………………… (11分)

解析