Question

已知：如圖，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設運動時間為t（s）（0＜t＜1）．
（1）當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？
（2）證明：在P、Q運動的過程中，總有CQ=AM；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）連結(jié)AQ、MD，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）根據(jù)已知得出△AMP∽△DQP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

AM

DQ

=

AP

PD

，求出AM的值，從而得出在P、Q運動的過程中，總有CQ=AM；
（3）根據(jù)已知條件得出BN=MN，再根據(jù)BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=

2

2

（1+t），根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得出MN⊥AD，設四邊形ANPM的面積為y，得出y=

1

2

×AP×MN，假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，得出

3 2

4

t²+

3 2

4

t=

1

2

×3×

2

2

，最后進行整理，即可求出t的值．

解答：解：（1）連結(jié)AQ、MD，
∵當AP=PD時，四邊形AQDM是平行四邊形，
∴3t=3-3t，
解得：t=

1

2

，
∴t=

1

2

s時，四邊形AQDM是平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴

AM

DQ

=

AP

PD

，
∴

AM

1-t

=

3t

3-3t

，
∴AM=t，
即在P、Q運動的過程中，總有CQ=AM；

（3）∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=

2

2

（1+t），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
設四邊形ANPM的面積為y，
∴y=

1

2

×AP×MN=

1

2

×3t×

2

2

（1+t）=

3 2

4

t²+

3 2

4

t（0＜t＜1）．
假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，
∴

3 2

4

t²+

3 2

4

t=

1

2

×3×

2

2

，
整理得：t²+t-1=0，
解得：t₁=

-1+ 5

2

，t₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴當t=

-1+ 5

2

s時，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．

點評：本題考查了相似性的綜合，用到的知識點是相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，是一道綜合性較強的題，有一定難度．