Question

關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0
（1）這個方程一定有實數(shù)根嗎？
（2）若等腰三角形邊長a=1，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）先計算判別式的值得到△=（k-2）²，再利用非負數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，則利用判別式的意義可判斷方程根的情況；
（2）分類討論：當a=b=1或a=c=1，把x=1代入方程得1-k-2+2k=0，解得k=1，原方程變形為x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2；當b=c，則△=（k-2）²=0，解得k=2，原方程變形為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進行判斷后計算三角形周長．

解答：解：（1）△=（k+2）²-4•2k
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴這個方程一定有實數(shù)根；
（2）當a=b=1或a=c=1，把x=1代入方程得1-k-2+2k=0，解得k=1，原方程變形為x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，而1+1=2，不符合三角形三邊的關(guān)系，故舍去；
當b=c，則△=（k-2）²=0，解得k=2，原方程變形為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，此時三角形周長=1+2+2=5．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式、三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．