Question

如圖，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，4），B（-2，-2），C（3，0），點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，m）時(shí)，請(qǐng)?jiān)趛軸上找點(diǎn)Q，使△PQC周長(zhǎng)最小．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C交y軸于Q，此時(shí)PQ+QC=P′C；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，Q就是使△PQC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；先根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求得P′的坐標(biāo)，然后求得直線P′C的解析式，即可求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：∵A（0，4），C（3，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴

b=4 3k+b=0

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直線AC的解析式為y=-

4

3

x+4；
∵點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，m），
∴m=-

4

3

×1+4=

8

3

，
∴P（1，

8

3

），
作P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C交y軸于Q，此時(shí)PQ+QC=P′C，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，Q就是使△PQC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；
則P′（-1，

8

3

），
設(shè)直線P′C的解析式為y=mx+n，
∴

-m+n= 8 3 3m+n=0

，解得

m=- 2 3 n=2

，
∴直線P′C的解析式為y=-

2

3

x+2，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．