Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，-n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．
（1）求直線AB和OB的解析式．
（2）求拋物線的解析式．
（3）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．問△BOD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值并寫出此時點D的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法確定直線AB和直線OB的解析式即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）利用S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，進而得出最值即可．

解答：解（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∴

-k+b=-1 3k+b=-3

，
解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
所以直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

3

2

；
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
∴3k=-3，
解得：k=-1，
∴直線OB的解析式為y=-x；

（2）∵拋物線過原點，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
∴

a-b=-1 9a+3b=-3

，
解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x．

（3）△BOD的面積是存在最大值；
過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)Q（x，-x），D（x，-

1

2

x²+

1

2

x）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=

1

2

DQ•OG+

1

2

DQ•GH，
=

1

2

DQ（OG+GH），
=

1

2

[x+（-

1

2

x²+

1

2

x）]×3，
=-

3

4

（x-

3

2

^）2+

27

16

，
∵0＜x＜3，
∴當x=

3

2

時，S取得最大值為

27

16

，此時D（

3

2

，-

3

8

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積求法等知識，求面積最值經(jīng)常利用二次函數(shù)的最值求法得出．