【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長為4,把三角板的直角頂點放置BC中點E處,三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F.
(1)求證:△GBE∽△GEF.
(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達式,并寫出自變量取值范圍.
(3)如圖2,連接AC交GF于點Q,交EF于點P.當△AGQ與△CEP相似,求線段AG的長.
【答案】(1)見解析;(2)y=4﹣x+(0≤x≤3);(3)當△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為2或4﹣.
【解析】
(1)先判斷出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,進而得出∠BGE=∠EGF,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△BEG∽△CFE進而得出CF=
,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,①△AGQ∽△CEP時,判斷出∠BGE=60°,即可求出BG;
②△AGQ∽△CPE時,判斷出EG∥AC,進而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,延長FE交AB的延長線于F',
∵點E是BC的中點,
∴BE=CE=2,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠F'=∠CFE,
在△BEF'和△CEF中,
,
∴△BEF'≌△CEF,
∴BF'=CF,EF'=EF,
∵∠GEF=90°,
∴GF'=GF,
∴∠BGE=∠EGF,
∵∠GBE=∠GEF=90°,
∴△GBE∽△GEF;
(2)∵∠FEG=90°,
∴∠BEG+∠CEF=90°,
∵∠BEG+∠BGE=90°,
∴∠BGE=∠CEF,
∵∠EBG=∠C=90°,
∴△BEG∽△CFE,
∴,
由(1)知,BE=CE=2,
∵AG=x,
∴BG=4﹣x,
∴,
∴CF=,
由(1)知,BF'=CF=,
由(1)知,GF'=GF=y,
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
當CF=4時,即:=4,
∴x=3,(0≤x≤3),
即:y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=4﹣x+(0≤x≤3);
(3)∵AC是正方形ABCD的對角線,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∵△AGQ與△CEP相似,
∴①△AGQ∽△CEP,
∴∠AGQ=∠CEP,
由(2)知,∠CEP=∠BGE,
∴∠AGQ=∠BGE,
由(1)知,∠BGE=∠FGE,
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,
∴∠BGE=60°,
∴∠BEG=30°,
在Rt△BEG中,BE=2,
∴BG=,
∴AG=AB﹣BG=4﹣,
②△AGQ∽△CPE,
∴∠AQG=∠CEP,
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,
∴∠AQG=∠FGE,
∴EG∥AC,
∴△BEG∽△BCA,
∴,
∴,
∴BG=2,
∴AG=AB﹣BG=2,
即:當△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為2或4﹣.
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【題目】如圖,AH是圓O的直徑,AE平分∠FAH,交⊙O于點E,過點E的直線FG⊥AF,垂足為F,B為直徑OH上一點,點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上.
(1)求證:直線FG是⊙O的切線;
(2)若AD=8,EB=5,求⊙O的直徑.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,其對稱軸x=﹣1,給出下列結(jié)果①b2>4ac②abc>0③2a+b=0④a+b+c>0⑤a﹣b+c<0,則正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】己知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點,將這條直線進行平移后交軸、軸分別交于、,要使點、、、構(gòu)成的四邊形面積為4,則直線的解析式為__________.
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【題目】已知⊙O的半徑為5,弦AB=6,P是AB上任意一點,點C是劣弧的中點,若△POC為直角三角形,則PB的長度( 。
A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 2或4
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=2,A(0,a),B(b,0),點C在第二象限,BC與y軸交于點D(0,c),若y軸平分∠BAC,則點C的坐標不能表示為( 。
A. (b+2a,2b) B. (﹣b﹣2c,2b)
C. (﹣b﹣c,﹣2a﹣2c) D. (a﹣c,﹣2a﹣2c)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°, ∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,又分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連結(jié)AP并延長交BC于點D.
求證:(1)點D在AB的中垂線上.
(2)當CD=2時,求△ABC的面積.
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【題目】電影《厲害了,我的國》震撼上演后,引起了大家的強烈共鳴,當“復(fù)興號”一幕又一幕的奔馳在祖國廣袤的大地上,中國高鐵的車輪快速的滾出了嶄新中國的新畫卷.中國高鐵的飛速發(fā)展,使越來越多的人選擇高鐵出行.為了保證市民出行方便,某市的高鐵站出入口與地鐵站出入口進行對接.已知某人沿著坡角為30°的樓梯AB從A行至B,后沿BC路線上斜坡CD,坡角為30°,再行走一段距離DE,到達高鐵入口處.若入口處樓梯EF的坡角為45°,DE∥BC∥AF,AB=20米,CD=4米,那么EF的長度是多少米?(保留0.1米)(≈1.414)
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【題目】新園小區(qū)計劃在一塊長為20米,寬12米的矩形場地上修建三條互相垂直的長方形甬路(一條橫向、兩條縱向,且橫向、縱向的寬度比為3:2),其余部分種花草.若要使種花草的面積達到144米2.則橫向的甬路寬為_____米.
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