Question

【題目】如圖1，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點(diǎn)P是射線AN上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，設(shè)AP=x

（1）CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，用含x的代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，求出線段CD的長度；
（2）△PBC的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)的x的值；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，△ABP和△CDP相似；
（4）如圖2，當(dāng)以C為圓心，以CP為半徑的圓與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，求x的值。

Answer 1

【答案】
（1）解：CD的長度不變化，理由如下:
如圖1,延長CB和PA,記交點(diǎn)為點(diǎn)Q.

, ,
(等腰三角形“三合一”的性質(zhì)).
, ,
,
,

,
即CD=8 。
（2）解：如圖2,過點(diǎn)B作 ,垂足為F.

, , . , ,即CP最小值為8, 面積的最小值
此時(shí) 是等腰三角形,AP=AB=4 ,即x=4;
（3）解：當(dāng) 時(shí),
,
,
即 ,
如圖3,當(dāng)

時(shí),
, ,
,
,
,
即 ,
所以當(dāng) 或 時(shí), 和 相似。
（4）解：如圖延長CB和PA相交于點(diǎn)E，

當(dāng)點(diǎn)A在圓C上時(shí)，由（1）及垂徑定理得
AE=AD=DP= x
由 得

∴
∴x的取值范圍是
【解析】（1）CD的長度不變化，理由如下:如圖1，延長CB和PA，記交點(diǎn)為點(diǎn)Q．根據(jù)等腰△QPC“三合一”的性質(zhì)證得QB=BC；根據(jù)同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出A B ∥ C D ,根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出：△QAB∽△QDC；由全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出CD=2AB，從而得出答案；
（2）如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥PC，垂足為F．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出BF=BA=4．根據(jù)垂線段最短得出CP≥CD，從而得出CP最小值為8，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)而得出△PBC面積的最小值，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得出此時(shí)△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，進(jìn)而得出答案；
（3）此題分兩種情況 ：①當(dāng)△BAP∽△CDP時(shí)，由∠ B P C = ∠ B P A , ∠ C P D = ∠ B P A 根據(jù)平角的定義得出∠BPA=60°，然后利用正切函數(shù)的定義得出x=AP=,②當(dāng)Δ B A P Δ P D C 時(shí),由∠ C P B = ∠ B P A , ∠ P C D = ∠ B P A ,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠ B P A = 30 ,然后利用正切函數(shù)的定義得出x=AP= ；綜上所述從而得出x的值；
（4）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，由（1）及垂徑定理得：AE=AD=DP=x,由全等三角形對應(yīng)邊成比例得出