Question

如圖1，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=8，現(xiàn)將此矩形折疊，使得A與C重合，然后沿折痕EF裁開(kāi)，得到兩個(gè)直角梯形，將它們拼在一起，放置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖2所示．
（1）求圖2中梯形EFNM各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度，向點(diǎn)N出發(fā)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
①若a=2，問(wèn)：是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形EFNM的面積分成1：2兩部分？若存在，請(qǐng)求出所有可能的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②是否存在這樣的a，使得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在這樣的t，使得以P、E、Q、O為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)DE=x，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得x，再得AE、CF的長(zhǎng)，即可得梯形EFNM各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①先求的S_梯形EFNM=S_矩形ABCD=32，直線PQ將梯形EFNM的面積分成1：2兩部分，分S_{四邊形EFQP}：S_{四邊形PQNM}=1：2和S_{四邊形EFQP}：S_{四邊形PQNM}=2：1，兩種情況討論；
②第一種情形：若EPQO為菱形，易得EO=5，由于ON=5，若Q運(yùn)動(dòng)到N，則OQ=5，只要滿足EP=5，則可證四邊形EPQO為菱形；第二種情形：若EQOP為菱形，在Rt△OPD中，由勾股定理得t=

11

6

，再求得a的值．

解答：解：（1）設(shè)DE=x，則CE=AE=8-x，
∵在Rt△CDE中利用勾股定理可求得：4²+x²=（8-x）²，
  x=3，8-3=5，
∴E（-3，4），M（3，4），F(xiàn)（-5，0），N（5，0）；
（2）①∵當(dāng)a=2時(shí)，MP=t，QN=10-2t，S_梯形EFNM=S_矩形ABCD=32，
若S_{四邊形EFQP}：S_{四邊形PQNM}=1：2，

(6-t+2t)×4

2

：

(t+10-2t)×4

2

=1：2
可得t=-

2

3

（舍去）  
若S_{四邊形EFQP}：S_{四邊形PQNM}=2：1，

(6-t+2t)×4

2

：

(t+10-2t)

2

=2：1
可得t=

14

3

．
∴若a=2，則當(dāng)t=

14

3

時(shí)，直線PQ將梯形EFNM的面積分成1：2兩部分．
②第一種情形：若EPQO為菱形，不難求得EO=5，由于ON=5，
若Q運(yùn)動(dòng)到N，則OQ=5．
又∵EP∥OQ，只要滿足EP=5，則可證四邊形EPQO為菱形．
由EP=6-t=5，可得t=1，此時(shí)，可求得a=10．
第二種情形：若EQOP為菱形，則DP=3-t，OP=EP=6-t．
在Rt△OPD中，由勾股定理得t=

11

6

．
由QO=EP=6-

11

6

=

25

6

，可得FQ=5-QO=

5

6

，
∴這種情形下，a=

5

6

÷

11

6

=

5

11

．
∴存在符合條件的a=10或a=

5

11

，使得以P、E、Q、O為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合題，用到折疊的性質(zhì)，勾股定理，以及菱形的判定，難度較大．