Question

定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出的特征數(shù)為[m-1，1+m，-2m]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當m=3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（-1，-8）；
②無論m取何值，函數(shù)圖象與x軸始終有交點；
③當m＞1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于3；
④函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩個定點．
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：①把m=3代入[m-1，1+m，-2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，根據(jù)△≥0，即可解答．
③令函數(shù)值為0，求得（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，解得x₁=-1，x₂=

2m

m-1

，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
④根據(jù)特征數(shù)的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．

解答：解：因為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[m-1，1+m，-2m]；
①當m=3時，y=2x²+4x-6=2（x+1）²-8，頂點坐標是（-1，-8）；此結(jié)論正確；
②令y=0，有（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，因為△=（1+m）²-4（m-1）×（-2m）=（3m-1）²≥0，
所以函數(shù)圖象與x軸始終有交點，此結(jié)論正確；
③當m＞1時，令y=0，有（m-1）x²+（1+m）x-2m=0，解得，x₁=-1，x₂=

2m

m-1

，
|x₂-x₁|=

3m-1

m-1

＞3，所以當m＞1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于3，此結(jié)論正確；
④經(jīng)過定點，說明任意x代入，都不存在m，設m=2則x²+3x-2=0，即（x+2）（x-1）=0，即x=-2或1．當x=1時，y=（m-1）x²+（1+m）x-2m=0 即對任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點（1，0）那么同樣的：當x=-2時，y=（m-1）x²+（1+m）x-2m=-6即對任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點（-2，-6），函數(shù)圖象都經(jīng)過兩個點（1，0），（-2，-6），此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，①②③④都是正確的．
故答案為：①②③④．

點評：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點坐標，拋物線與x軸的交點情況，兩點間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是和點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．