Question

【題目】探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數(shù),每邊上相鄰釘子間的距離為1),連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù):

當(dāng)n=2時(shí),釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值只有1與，所以不同長(zhǎng)度值的線段只有2種,若用S表示不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù),則S=2;

當(dāng)n=3時(shí),釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值只有1, ，2, ，2五種,比n=2時(shí)增加了3種,即S=2+3=5.

(1)觀察圖形,填寫(xiě)下表:

釘子數(shù)(n×n)	S值
2×2	2
3×3	2+3
4×4	2+3+（____）
5×5	（________）

(2)寫(xiě)出(n-1)×(n-1)和n×n的兩個(gè)釘子板上,不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系;(用式子或語(yǔ)言表述均可).

(3)對(duì)n×n的釘子板,寫(xiě)出用n表示S的代數(shù)式.

Answer 1

【答案】 4 2+3+4+5(或14)

【解析】試題分析：（1）釘子數(shù)為2×2時(shí)，共有不同的線段2條；
釘子數(shù)為3×3時(shí)，共有不同的線段2+3條；
釘子數(shù)為4×4時(shí)，共有不同的線段2+3+4條；
那么釘子數(shù)為5×5時(shí)，共有不同的線段2+3+4+5條．
（2）釘子數(shù)為（n-1）×（n-1）時(shí)，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）條；釘子數(shù)為n×n時(shí)，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）+n條相減后發(fā)現(xiàn)不同長(zhǎng)度的線段種數(shù)增加了n種．
（3）釘子數(shù)為n×n時(shí)，共有不同的線段應(yīng)從2開(kāi)始加，加到n．

試題解析：(1)4　2+3+4+5(或14)

(2)①n×n的釘子板比(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長(zhǎng)度的線段種數(shù)增加了n種或②分別用a,b表示n×n與(n-1)×(n-1)的釘子板中不同長(zhǎng)度的線段種數(shù),則a=b+n.

(3)S=2+3+4+…+n=×(n-1)= .