【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線yax2+2ax+c(其中ac為常數(shù),且a<0)與x軸交于點A(﹣3,0),與y軸交于點B,此拋物線頂點Cx軸的距離為4.

(1)求拋物線的表達式;

(2)求∠CAB的正切值;

(3)如果點Px軸上的一點,且∠ABPCAO,直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2);(3)P的坐標是(1,0)

【解析】

(1) 先求得拋物線的對稱軸方程, 然后再求得點C的坐標,設(shè)拋物線的解析式為yax+12+4,將點 (-3, 0) 代入求得a的值即可;

(2) 先求得A B、 C的坐標, 然后依據(jù)兩點間的距離公式可得到BCAB,AC的長,然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°,最后,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可;

(3) 連接BC,可證得AOB是等腰直角三角形,△ACB∽△BPO,可得代入個數(shù)據(jù)可得OP的值,可得P點坐標.

解:(1)由題意得,拋物線yax2+2ax+c的對稱軸是直線,

a<0,拋物線開口向下,又與x軸有交點,

∴拋物線的頂點Cx軸的上方,

由于拋物線頂點Cx軸的距離為4,因此頂點C的坐標是(﹣1,4).

可設(shè)此拋物線的表達式是yax+1)2+4,

由于此拋物線與x軸的交點A的坐標是(﹣3,0),可得a=﹣1.

因此,拋物線的表達式是y=﹣x2﹣2x+3.

(2)如圖1,

B的坐標是(0,3).連接BC

AB2=32+32=18,BC2=12+12=2,AC2=22+42=20,

AB2+BC2AC2

∴△ABC為直角三角形,∠ABC=90°,

所以tan∠CAB=

即∠CAB的正切值等于

(3)如圖2,連接BC,

OAOB=3,AOB=90°,

∴△AOB是等腰直角三角形,

∴∠BAPABO=45°,

∵∠CAOABP,

∴∠CABOBP,

∵∠ABCBOP=90°,

∴△ACB∽△BPO,

,

,OP=1,

∴點P的坐標是(1,0).

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銷售單價x(元/kg)

120

130

180

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100

95

70

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A. M B. N C. P D. Q

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