Question

直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)D（-4，1）、C（1，m），并分別與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線MN⊥x軸于F點(diǎn)，連接BF．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）求∠BCF的度數(shù)；
（3）設(shè)直線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作直線PE⊥AB，垂足為E，直線PE與x軸相交于點(diǎn)H．當(dāng)P點(diǎn)在直線MN上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使以A、P、H為頂點(diǎn)的三角形與△FBC相似？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵直線y=-x+b與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)D（-4，1），
∴1=4+b，解得b=-3；
1=

k

-4

，解得k=-4．
∴直線解析式為y=-x-3，雙曲線解析式為y=-

4

x

；

（2）∵點(diǎn)C（1，m）在反比例函數(shù)y=-

4

x

上，
∴m=-

4

1

=-4，
∴C（1，-4）．
由點(diǎn)A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠BCF=45°；

（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，設(shè)FH=FP=x，則PH=

2

x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=

2

，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么

PH

BC

=

AH

CF

，則有：

2 x

2

=

4+x

4

，
解得：x=

4

3

，即 P（1，-

4

3

）；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
設(shè)FP=x，則 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=

2

x；
同1可得：

PH

CF

=

AH

BC

，有：

2 x

4

=

x-4

2

，
解得：x=8，即 P（1，8）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-

4

3

）或（1，8）．