【題目】已知拋物線的頂點在定直線上.

(1)點的坐標(用含的式子表示)

(2)求證:不論為何值,拋物線與定直線的兩交點間的距離恒為定值;

(3)的頂點軸上,且與軸交于、兩點(點在點左側(cè))時,在上是否存在兩點、,設交線段點,使,且直線的面積分成的兩部分?若存在,求出直線的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】1C-2m,-4m-3);(2)見解析;(3)存在,直線MN的解析式為:y=x+3-2y=x+3-2

【解析】

1)可用配方法將拋物線的解析式配成頂點式,從而可得出結果;

2)設頂點坐標為(x,y),從而可用含m的代數(shù)式表示xy,消去m,就可得到xy的關系,得出定直線l的解析式,將直線l的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立,消去y,求出x,就可得到兩交點的橫坐標,將橫坐標代入直線l的解析式進而可得出兩個交點的坐標,然后運用兩點之間的距離公式就可解決問題;
3)先得出C1的解析式,求出A,B,C的坐標,再進一步得出∠ACB=60°,所以MNBC,從而根據(jù)直線BC的解析式可設MN的解析式為y=x+m.由直線MN將△ABC的面積分成兩部分,設MNx軸交于點T,可分為以下兩種情況:①當SAPT:S四邊形PTBC=1:2時,則SAPT=SABC;當SAPT:S四邊形PTBC=2:1時,則SAPT=SABC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AT的長,從而可得出點T的坐標,代入直線MN的解析式可求出m的值,即可得出結果.

解:(1)∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=x+2m2-4m-3,
∴拋物線的頂點C的坐標為(-2m-4m-3);
2)設拋物線的頂點坐標為(x,y),
則有x=-2m①,y=-4m-3②,

由①②消去m得,y=2x-3
∴定直線l的解析式為y=2x-3

聯(lián)立拋物線與直線l的解析式得,

,消去y整理得,x2+4m-2x+4m2-4m=0,

∴(x+2m(x+2m-2)=0,∴x1=-2m,x2=2-2m

∴拋物線與定直線l的兩交點坐標為(-2m,-4m-3),(2-2m,1-4m),

d==

故不論為何值,拋物線與定直線的兩交點間的距離恒為定值;

3)存在.∵拋物線的頂點在y軸上,∴-2m=0,即m=0

C1的解析式為y=x2-3,

A(-0),B,0),C0,-3),

BO=AO=,OC=3,∴AB=2,tanACO=

∴∠ACO=30°,同理可得∠BCO=30°,

∴∠APN=2ACO=60°,∴∠APN=ACB=60°,

MNBC

設直線BC的解析式為y=kx+b,則,得k=,

∴設直線MN的解析式為y=x+m,設MNx軸交于點T,

情況1:如圖①,當SAPT:S四邊形PTBC=1:2時,則SAPT=SABC,

PTBC,∴△APT∽△ACB

,∴AT==2,∴OT=2-

∴點T的坐標為(2-0).

將點T的坐標代入y=x+m得,m=3-2,

∴直線MN的解析式為y=x+3-2

情況2:如圖②,當SAPT:S四邊形PTBC=2:1時,則SAPT=SABC

,∴AT==2,∴OT=2-,

∴點T的坐標為(2-0).

將點T的坐標代入y=x+m得,m=3-2

∴直線MN的解析式為y=x+3-2

綜上所述,直線MN的解析式為:y=x+3-2y=x+3-2

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收集數(shù)據(jù) 從甲、乙兩個車間各隨機抽取20個樣品,進行了檢測,檢測結果(單位:mm)如下:

甲車間

168

175

180

185

172

189

185

182

185

174

192

180

185

178

173

185

169

187

176

180

乙車間

186

180

189

183

176

173

178

167

180

175

178

182

180

179

185

180

184

182

180

183

整理、描述數(shù)據(jù) 按如下分段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

165.5-170.5

170.5-175.5

175.5-180.5

180.5-185.5

185.5-190.5

190.5-195.5

甲車間

2

4

5

6

2

1

乙車間

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分析數(shù)據(jù) 兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示:

平均數(shù)

眾數(shù)

中位數(shù)

方差

甲車間

180

185

180

43.1

乙車間

180

180

180

22.6

得出結論

1)補全上列表格;

2)若乙車間生產(chǎn)1000個該款產(chǎn)品,估計其中合格產(chǎn)品約有 個;

3)可以推斷出 車間生產(chǎn)的該款產(chǎn)品更好,理由為

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