【題目】如圖,拋物線y=x22x+c的頂點(diǎn)A在直線l:y=x5上.
(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)),試判斷△ABD的形狀;
(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(1,﹣4);
(2)△ABD是直角三角形,理由見(jiàn)解析;
(3)存在點(diǎn)P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸方程,由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo),然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式,進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).則AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)可得,然后根據(jù)邊長(zhǎng)確定三角形的形狀.
(3)若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,應(yīng)分①AB為對(duì)角線、②AD為對(duì)角線兩種情況討論,然后結(jié)合勾股定理以及邊長(zhǎng)的等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,且頂點(diǎn)在y=x﹣5上,
∴當(dāng)x=1時(shí),y=1-5=-4,
∴A(1,-4).
(2)將A(1,-4)代入y=x2-2x+c,可得,1-2+c=-4,c=-3,
∴y=x2-2x-3,
∴B(0,-3)
當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3
∴C(-1,0),D(3,0),
∵BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+12=2,AD2=(3-1)2+42=20,
∴BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)由題意知:直線y=x-5交y軸于點(diǎn)E(0,-5),交x軸于點(diǎn)F(5,0)
∴OE=OF=5,
又∵OB=OD=3
∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖,
過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交過(guò)P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G.
設(shè)P(x1,x1-5),則G(1,x1-5)
則PG=|1-x1|,AG=|5-x1-4|=|1-x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1-x1)2+(1-x1)2=18,x12-2x1-8=0,x1=-2或4
∴P(-2,-7)或P(4,-1),
存在點(diǎn)P(-2,-7)或P(4,-1)使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為30m,寬為24m的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,則人行通道的寬度為多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】哈爾濱地鐵“二號(hào)線”正在進(jìn)行修建,現(xiàn)有大量的殘土需要運(yùn)輸.某車隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車共12臺(tái),全部車輛運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸110噸殘土.
(1)求該車隊(duì)有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛?
(2)隨著工程的進(jìn)展,該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸殘土不低于165噸,為了完成任務(wù),該車隊(duì)準(zhǔn)備再新購(gòu)進(jìn)這兩種卡車共6輛,則最多購(gòu)進(jìn)載重量為8噸的卡車多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我們可以將x2﹣1視為一個(gè)整體,然后設(shè)x2﹣1=y,則
(x2﹣1)=y2,原方程化為y2﹣5y+4=0.①
解得y1=1,y2=4
當(dāng)y=1時(shí),x2﹣1=1.∴x2=2.∴x=±;
當(dāng)y=4時(shí),x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±.
∴原方程的解為x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣
解答問(wèn)題:
(1)填空:在由原方程得到方程①的過(guò)程中,利用 法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想.
(2)解方程:x4﹣x2﹣6=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)B(0,1+t)、C(0,1﹣t)(t>0),點(diǎn)P在以D(3,5)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),且始終滿足∠BPC=90°,則t的最小值是( 。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:a、b為有理數(shù),下列說(shuō)法:①若 a、b互為相反數(shù),則;②若則;③若,則;④若,則是正數(shù).其中正確的有
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,連結(jié)BD,∠BAD=100°,∠DBC=80°.
(1)求證:BD=CD;
(2)若圓O的半徑為9,求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1和圖2,半圓O的直徑AB=4,點(diǎn)P(不與點(diǎn)A,B重合)為半圓上一點(diǎn),將圖形沿著BP折疊,分別得到點(diǎn)A,O的對(duì)稱點(diǎn)A′,O′,設(shè)∠ABP=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=22.5°時(shí),過(guò)點(diǎn)A′作A′C∥AB,判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)如圖2,當(dāng)α= 時(shí),點(diǎn)O′落在上.當(dāng)α= 時(shí),BA′與半圓O相切.
(3)當(dāng)線段B O′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)B時(shí),α的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:如圖,已知AM∥BN,∠A=60°,點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合).BC,BD別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D.
(1)求∠ABN、∠CBD的度數(shù);根據(jù)下列求解過(guò)程填空.
解:∵AM∥BN,
∴∠ABN+∠A=180°
∵∠A=60°,
∴∠ABN= ,
∴∠ABP+∠PBN=120°,
∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN= ,( )
∴2∠CBP+2∠DBP=120°,
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= .
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由;若變化,請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí),直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù).
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