Question

在△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB三邊的長分別為a、b、c，則sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

．
（1）是根據(jù)定義并結(jié)合勾股定理探求sinA，tanA，cosA之間存在的一般關(guān)系，并說明理由；
（2）利用上面探索的結(jié)論解答下面問題：
①若∠A為銳角，sinA=

4

5

，求cosA；
②已知∠A為銳角，且tanA=3，求

3cosA+2sinA

6cosA-sinA

的值．

Answer 1

考點：解直角三角形,勾股定理

專題：計算題

分析：（1）先計算出sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

，再根據(jù)勾股定理a²+b²=c²，易得sin²A+sin²B=1；然后計算出

sinA

sinB

=

a

b

，則根據(jù)正切的定義得到tanA=

sinA

sinB

；
（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論得到sin²A+cos²A=1，然后把sinA=

4

5

代入計算即可；
②根據(jù)（1）中的結(jié)論得到tanA=

sinA

cosA

=3，則sinA=3cosA，然后把sinA=3cosA代入

3cosA+2sinA

6cosA-sinA

中進行合并、約分即可．

解答：解：（1）∵sin²A+sin²B=

a2

c2

+

b2

c2

=

a2+b2

c2

，
而a²+b²=c²，
∴sin²A+sin²B=1；
∵

sinA

sinB

=

a c

b c

=

a

b

，
∴tanA=

sinA

sinB

；
（2）①∵sin²A+sin²B=1（∠A+∠B=90°），
∴sin²A+cos²A=1；
∴cosA=

1-sin2A

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

；
②∵tanA=

sinA

sinB

（∠A+∠B=90°），
∴tanA=

sinA

cosA

=3，
∴sinA=3cosA，
∴

3cosA+2sinA

6cosA-sinA

=

3cosA+6cosA

6cosA-3cosA

=3．

點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了勾股定理．