Question

閱讀理解：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)才能成立，此時(shí)，a+b有最小值為2

ab

．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）若x＞0，只有當(dāng)x=

 

時(shí)，x+

1

x

有最小值

 

；
（2）如圖，已知直線l₁：y=-

1

2

x+2與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的另一直線l₂與雙曲線y=

8

x

（x＜0）相交于點(diǎn)B（-2，m），求直線l₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C為雙曲線上任意一點(diǎn)，作CD∥y軸交直線l₁于點(diǎn)D，試求當(dāng)線段CD最短時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D所圍成的四邊形面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）運(yùn)用完全平方公式，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求最小值；
（2）首先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（3）首先假設(shè)出C，D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CD最小時(shí)x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)A、B、C、D所圍成的四邊形面積為S_△ADE-S_△EBC求出即可．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)才能成立，
此時(shí)，a+b有最小值為2

ab

；
∴x＞0，只有當(dāng)x=1時(shí)，x+

1

x

=2；
故答案為：1，2；

（2）∵直線l₁：y=-

1

2

x+2與x軸交于點(diǎn)A，
∴y=0時(shí)，x=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），
∵直線l₂與雙曲線y=

8

x

（x＜0）相交于點(diǎn)B（-2，m），
∴m=-4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，-4），
設(shè)直線l₂的解析式為：y=kx+b，則

4k+b=0 -2k+b=-4

，
解得：

k= 2 3 b=- 8 3

，
∴直線l₂的解析式為：y=

2

3

x-

8

3

；

（3）設(shè)D（x，-

1

2

x+2），C（x，

8

x

），
∴DC=-

1

2

x+2-

8

x

=

1

2

（-x-

16

x

）+2
=

1

2

（-x+

16

-x

）+2
≥

1

2

-x• 16 -x

+2=4，
當(dāng)-

1

2

x=-

8

x

時(shí)，
解得：x=±4，
∵x＜0，
∴x=-4，
延長(zhǎng)DC交直線AB于點(diǎn)E，C（-4，-2），E（-4，-

16

3

），
∴點(diǎn)A、B、C、D所圍成的四邊形面積為：S_△ADE-S_△EBC=

1

2

×（4+

10

3

）×8-

1

2

×

10

3

×2=26．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及新定義和函數(shù)最值問(wèn)題等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出C，D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．