Question

已知直線y=-3x-3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點C的直線與y軸交于點D，與直線AB交于點E，且E點在第二象限．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）若點D（0，1），如圖2，過點B作BF⊥CD于F，連接BC，求∠DBF的度數(shù)及△BCE的面積；
（3）若點G（G不與C重合）是動直線CD上一點，且BG=BA，試探究∠ABG與∠ACE之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,分類討論

分析：（1）利用圖象與坐標(biāo)軸相交是對應(yīng)x，y的值進(jìn)而得出A，B點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點C的坐標(biāo)求得OC=1．由D（0，1），得OD=1．求得直線CD的解析式為y=-x+1然后與直線y=3x-3聯(lián)立即可求得兩直線的交點E的坐標(biāo)，過E作EH⊥y軸于H，則EH=2．再根據(jù)B、D的坐標(biāo)求得BD=4．然后利用S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC即可求得三角形BCE的面積．
（3）連接BC，作BM⊥CD于M．設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α，∠CBM=β，則∠GBM=β，∠BCG=90°-β．然后分當(dāng)點G在射線CD的反向延長線上時和當(dāng)點G在射線CD的延長線上時兩種情況討論即可得到答案．

解答：解：（1）∵直線y=-3x-3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴x=0時，y=-3，
y=0時，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-3）；

（2）如解答中圖1，依題意，C（1，0），OC=1．
由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．
可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°．
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°．
可求得直線CD的解析式為y=-x+1
由 

y=-3x-3 y=-x+1

，
 解得

x=-2 y=3

∴直線AB與CD的交點為E（-2，3）．
過E作EH⊥y軸于H，則EH=2．
∵B（0，-3），D（0，1），
∴BD=4．
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC=

1

2

×4×2+

1

2

×4×1=6；

（3）如解答中圖2，連接BC，作BM⊥CD于M．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BM⊥CD，
∴∠CBM=∠GBM．
設(shè)∠CBM=β，則∠GBM=β，∠BCG=90°-β．
（i） 如解答中圖2，當(dāng)點G在射線CD的反向延長線上時，
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β）
∠ECA=180°-（90°-α）-（90°-β）=α+β
∴∠ABG=2∠ECA．
（ii） 如解答中圖3，當(dāng)點G在射線CD的延長線上時，
∵∠ABG=2α-2β=2（α-β）
∠ECA=（90°-β）-（90°-α）=α-β
∴∠ABG=2∠ECA．
綜上，∠ABG=2∠ECA．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，題目中滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，題目難度較大．