【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)Q,連接PQ、DQ、CQ、BQ,設(shè)AP=x.

(1)BQ+DQ的最小值是_______,此時(shí)x的值是_______;

(2)如圖,若PQ的延長(zhǎng)線交CD邊于點(diǎn)E,并且CQD=90°

求證:點(diǎn)E是CD的中點(diǎn); 求x的值.

(3)若點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫出當(dāng)CDQ為等腰三角形時(shí)x的值.

【答案】(1),;(2) 理由詳見解析;;(3) 2﹣或2+

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短可知,點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)BQ+DQ的值最小,是BD的長(zhǎng)度,利用勾股定理即可求出;再根據(jù)PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) 由對(duì)稱可知AB=BQ=BC,因此BCQ=BQC.根據(jù)BQE=BCE=90°,可知EQC=ECQ,從而EQ=EC.再根據(jù)CQD=90°可得DQE+CQE=90°, QCE+QDE=90°,而EQC=ECQ, 所以QDE=DQE,從而EQ=ED.易得點(diǎn)E是CD的中點(diǎn);在RtPDE中,PE= PQ+QE=x+,PD=1﹣x,PQ=x,根據(jù)勾股定理即可求出x的值.

(3) CDQ為等腰三角形分兩種情況:CD為腰,以點(diǎn)C 為圓心,以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)即為使得CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn); CD為底邊時(shí),作CD的垂直平分線,與的交點(diǎn)即為CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn),則共有 3個(gè)Q點(diǎn),那么也共有3個(gè)P點(diǎn),作輔助線,利用直角三角形的性質(zhì)求之即得.

試題解析:(1)

(2)證明:在正方形ABCD中,

AB=BC,A=BCD=90°.

Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn),

AB=QB,A=PQB=90°,

QB=BC,BQE=BCE,

∴∠BQC=BCQ,

∴∠EQC=EQB﹣CQB=ECB﹣QCB=ECQ,

EQ=EC.

在RtQDC中,

∵∠QDE=90°﹣QCE,

DQE=90°﹣EQC,

∴∠QDE=DQE,

EQ=ED,

CE=EQ=ED,即E為CD的中點(diǎn).

②∵AP=x,AD=1,

PD=1﹣x,PQ=x,CD=1.

在RtDQC中,

E為CD的中點(diǎn),

DE=QE=CE=,

PE=PQ+QE=x+,

,

解得 x=

(3)CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2-,,2+

如圖,以點(diǎn)B為圓心,以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,以點(diǎn)C為圓心,以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交于Q1,Q3.此時(shí)CDQ1,CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形.作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q2,此時(shí)

CDQ2以CD為底的等腰三形.

以下對(duì)此Q1,Q2,Q3.分別討論各自的P點(diǎn),并求AP的值.

討論Q:如圖作輔助線,連接BQ1、CQ1,作PQ1BQ1交AD于P,過點(diǎn)Q1,作EFAD于E,交BC于F.

∵△BCQ1為等邊三角形,正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,

,

在四邊形ABPQ1中,

∵∠ABQ1=30°,

∴∠APQ1=150°,

∴△PEQ1為含30°的直角三角形,

PE=

AE=,

x=AP=AE-PE=2-

討論Q2,如圖作輔助線,連接BQ2,AQ2,過點(diǎn)Q2作PGBQ2,交AD于P,連接BP,過點(diǎn)Q2作EFCD于E,交AB于F.

EF垂直平分CD,

EF垂直平分AB,

AQ2=BQ2

AB=BQ2

∴△ABQ2為等邊三角形.

在四邊形ABQP中,

∵∠BAD=BQP=90°, ABQ=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=DPG=180°-120°=60°

,

EG=

DG=DE+GE=-1,

PD=1-,

x=AP=1-PD=

對(duì)Q3,如圖作輔助線,連接BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,過點(diǎn)Q3作BQ3PQ3,交AD的延長(zhǎng)線于P,連接BP,過點(diǎn)Q1,作EFAD于E,此時(shí)Q3在EF上,不妨記Q3與F重合.

∵△BCQ1為等邊三角形,BCQ3為等邊三角形,BC=1,

,,

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=ABC+CBQ3=150°,

∴∠EPF=30°,

EP=,EF=

AE=

x=AP=AE+PE=+2.

綜上所述,CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2﹣,,2+

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為迎接安順市文明城市創(chuàng)建工作,某校八年一班開展了“社會(huì)主義核心價(jià)值觀、未成年人基本文明禮儀規(guī)范”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并將收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給出的信息,解答下列各題:

(1)求八年一班共有多少人;

(2)補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中等極為“D”的部分所占圓心角的度數(shù)為________;

(4)若等級(jí)A為優(yōu)秀,求該班的優(yōu)秀率.

【答案】(1)60;(2)補(bǔ)圖見解析;(3)108°;(4)5%.

【解析】(1)用B等人數(shù)除以其所占的百分比即可得到總?cè)藬?shù);

(2)用求得的總?cè)藬?shù)乘以C等所占的百分比即可得到C等的人數(shù),總?cè)藬?shù)減去A、C等的人數(shù)即可求得D等的人數(shù);

(3)用D等的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘以360°即可得到答案;

(4)用A等的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘以100%即可得到答案. 解答:

解:(1)30÷50%=60()

∴八年級(jí)一共有60人。

(2)等級(jí)為“C”的人數(shù)為60×15%=9().

等級(jí)為“D”的人數(shù)為603309=18().

補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如下。

(3)等極為“D”的部分所占圓心角的度數(shù)為 ×360°=108°,

故答案為:108°.

(4)該班的優(yōu)秀率×100%=5%.

∴該班的優(yōu)秀率為5%.

點(diǎn)睛:本題考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí).利用拆線圖與扇形圖得出相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵.

型】解答
結(jié)束】
25

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A﹣10),B3,0),C0,3)三點(diǎn),直線L是拋物線的對(duì)稱軸.

1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

3)設(shè)P點(diǎn)是直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,小華蒙上眼睛投飛鏢且中目標(biāo)(轉(zhuǎn)盤技等分成4個(gè)扇形,投在邊線上忽略)(直接填寫答案)

1)擊中紅色區(qū)域的概率是   

2)擊中白色區(qū)域的概率是   

3)沒有擊中黃色區(qū)域的概率是   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了更好改善河流的水質(zhì),治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備現(xiàn)有AB兩種型號(hào)的設(shè)備,其中每臺(tái)的價(jià)格,月處理污水量如下表:經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元,購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元.

A

B

價(jià)格萬(wàn)元臺(tái)

a

b

處理污水量

240

200

a,b的值;

治污公司經(jīng)預(yù)算購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過105萬(wàn)元,你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案;

的條件下,若每月要求處理污水量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知A-4,)、B2-4)是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

2)求直線AB軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積;

3)求方程的解(直接寫出答案)

4)求不等式的解集(直接寫出答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB為O的直徑,點(diǎn)C為O上一點(diǎn),若∠BAC=∠CAM,過點(diǎn)C作直線l垂直于射線AM,垂足為點(diǎn)D.

(1)試判斷CD與O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)若直線l與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,O的半徑為3,并且CAB=30°,求CE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解我市市民2018年乘坐公交車的每人月均花費(fèi)情況,相關(guān)部門隨機(jī)調(diào)查了1000人的相關(guān)信息,并繪制了如圖所示的頻數(shù)直方圖,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法(每組值包括最低值,不包括最高值):①乘坐公交車的月均花費(fèi)在60元~80元的人數(shù)最多;②月均花費(fèi)在160元(含160元)以上的人數(shù)占所調(diào)查總?cè)藬?shù)的10%;③在所調(diào)查的1000人中,至少有一半以上的人的月均花費(fèi)超過75元;④為了讓市民享受更多的優(yōu)惠,相關(guān)部門擬確定一個(gè)折扣標(biāo)準(zhǔn),計(jì)劃使30%左右的人獲得優(yōu)惠,那么可以是乘坐公交車的月均花費(fèi)達(dá)到100元(含100元)以上的人享受折扣.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)是∠內(nèi)的一點(diǎn),過點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn),且.

求證: ;

如圖②,點(diǎn)是射線上一點(diǎn),點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,若.求線段的長(zhǎng).

如圖③,若,將繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),秒后,開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后停止,此時(shí)也隨之停止旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)過程中,所在直線與所在直線的交點(diǎn)記為所在直線與所在直線的交點(diǎn)記為.旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí),?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,和諧號(hào)高鐵列車的小桌板收起時(shí),小桌板的支架底端與桌面頂端的距離OA75厘米,且可以近似看作與地面垂直展開小桌板使桌面保持水平,此時(shí)CBAO,AOBACB37°,且支架長(zhǎng)OB與桌面寬BC的長(zhǎng)度之和等于OA的長(zhǎng)度求小桌板桌面的寬度BC(參考數(shù)據(jù), ,

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