Question

如圖①，在□ABCD中，對(duì)角線AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)E，交折線AB-AD于點(diǎn)F，以EF為邊在其右側(cè)作正方形EFGH，使EH邊落在射線BC上．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．

（1）□ABCD的面積為 ；當(dāng)t= 秒時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合；

（2）點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，連接正方形EFGH的對(duì)角線EG，得△EHG，設(shè)△EHG與△ABC的重疊部分面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)Bˊ，連接CBˊ交AD邊于點(diǎn)M（如圖②），當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上時(shí)，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)N，連接MN得△MNC．是否存在時(shí)間t，使△MNC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出使△MNC為等腰三角形的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）40，2；（2）；（3）或2或.

【解析】

試題分析：（1）解Rt△ABC，即可求得□ABCD的面積；解Rt△ABC，即可求得t的值.

（2）分，，，討論即可.

（3）分CM=CN，MC=MN，NM=NC討論即可.

（1）設(shè)AB=a，

∵AC⊥AB，tan∠B=2，∴AC=2a.

∵BC=10，∴， 得.∴AB=，AC=.

∴□ABCD的面積為.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，BF=，tan∠B=2，∴t=2.

（2）當(dāng)時(shí)，△EHG與△ABC的重疊部分為△EHG，如答圖①，面積為；

當(dāng)時(shí)，△EHG與△ABC的重疊部分為四邊形EHJI，如答圖②，面積為；

當(dāng)時(shí)，△EHG與△ABC的重疊部分為四邊形EHJI，如答圖③，面積為；

當(dāng)時(shí)，△EHG與△ABC的重疊部分為△EHJI，如答圖④，面積為.

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為

（3）存在.

如答圖⑤，過點(diǎn)A，M作BC的垂線，垂足分別為I，J.

∵點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)Bˊ，∴AM是△BˊBC的中位線. ∴AM=5.

∵BI=2，AI=MJ=4，BE=t，∴JC=3，MC=5，EC=，IC=8.

由△CNE∽CAI，得，即，∴NC=.

∴FM=，F(xiàn)N=，∴NM=.

當(dāng)CM=CN時(shí)， .

當(dāng) MC=MN時(shí)，.

當(dāng)NM=NC時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)或2或時(shí)，△MNC為等腰三角形.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)和面動(dòng)問題；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)定義；4.勾股定理；5.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；6.三角形中位線的判定和性質(zhì)；7.相似 三角形的判定和性質(zhì)；8.等腰三角形的判定；9.分類思想的應(yīng)用.