【題目】如圖1所示,點E、F在線段AC上,過E,F分別作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為點E,F;DE,BF分別在線段AC的兩側(cè),且AE=CF,AB=CD,BD與AC相交于點G.
(1)求證:EG=GF;
(2)若點E在F的右邊,如圖2時,其余條件不變,上述結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)若點E、F分別在線段CA的延長線與反向延長線上,其余條件不變,(1)中結(jié)論是否成立?(要求:在備用圖中畫出圖形,直接判斷,不必說明理由)
【答案】(1)證明見解析;(2)成立,理由見解析;(3)成立,圖形見解析.
【解析】
(1)先利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE,從而得到ED=FB,然后再根據(jù)AAS證明△BFG≌△DGE,從而可證得EG=FG;
(2)先證AF=EC,然后利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE,從而得到BF=DE,然后利用AAS證明△BFG≌△DGE,從而可得到EG=FG;
(3)先根據(jù)要求畫出圖形,然后依據(jù)HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE,從而得到BF=DE,然后利用AAS證明△BFG≌△DGE,從而可得到EG=FG.
解:(1)證明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFG=90°.
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF.
∴AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∴△BFG≌△DGE(AAS).
∴EG=FG.
(2)解:(1)中結(jié)論依然成立.
理由如下:∵AE=CF,
∴AE﹣EF=CF﹣EF.
∴AF=CE.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFG=90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∴△BFG≌△DGE(AAS).
∴EG=FG.
(3)(1)中結(jié)論依然成立.
如圖所示:
理由如下:∵AE=CF,
∴AE+AC=CF+AC.
∴CE=AF.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFA=90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∴△BFG≌△DGE(AAS).
∴EG=FG.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,D在AB的延長線上,且∠BCD=∠A.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,CD=4,求BD的長.
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【題目】下列命題的逆命題,是假命題的是( )
A.兩直線平行,內(nèi)錯角相等B.全等三角形的對應(yīng)邊相等
C.對頂角相等D.有一個角為度的三角形是直角三角形
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【題目】用適當(dāng)方法解下列方程:
(1)(3x+1)2﹣9=0
(2)x2+4x﹣1=0
(3)3x2﹣2=4x
(4)(y+2)2=1+2y.
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【題目】如圖,∠AOB=90°,將三角尺的直角頂點P落在∠AOB的平分線OC的任意一點上,使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F。證明:PE=PF。
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【題目】閱讀并回答問題.
求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根(用配方法).
解:ax2+bx+c=0,
∵a≠0,∴x2+x+=0,第一步
移項得:x2+x=﹣,第二步
兩邊同時加上()2,得x2+x+( 。2=﹣+()2,第三步
整理得:(x+)2=直接開方得x+=±,第四步
∴x=,
∴x1=,x2=,第五步
上述解題過程是否有錯誤?若有,說明在第幾步,指明產(chǎn)生錯誤的原因,寫出正確的過程;若沒有,請說明上述解題過程所用的方法.
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【題目】 如圖,△ABC是等邊三角形,P是三角形內(nèi)一點,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周長為18,則PD+PE+PF=( 。
A. 18B. 9
C. 6D. 條件不夠,不能確定
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【題目】對于反比例函數(shù)y=(k≠0),下列所給的四個結(jié)論中,正確的是( 。
A. 若點(3,6)在其圖象上,則(﹣3,6)也在其圖象上
B. 當(dāng)k>0時,y隨x的增大而減小
C. 過圖象上任一點P作x軸、y軸的線,垂足分別A、B,則矩形OAPB的面積為k
D. 反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對稱
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