Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分別找一點(diǎn)F、E，連接CE、EF、CF，當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為______．

Answer 1

【答案】60°

【解析】

此題需分三步：第一步是作出△CEF的周長(zhǎng)最小時(shí)E、F的位置（用對(duì)稱(chēng)即可）；第二步是證明此時(shí)的△CEF的周長(zhǎng)最小（利用兩點(diǎn)之間線段最短）；第三步是利用對(duì)稱(chēng)性求此時(shí)∠ECF的值.

分別作出C關(guān)于AD、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C1、C2，連接C1C2，分別交AD，AB于點(diǎn)E、F再連接CE、CF此時(shí)△CEF的周長(zhǎng)最小，理由如下：

在AD、AB上任意取E1、F1兩點(diǎn)

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：

∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1

∴△CEF的周長(zhǎng)= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2

而△CE1F1的周長(zhǎng)= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2

∴△CEF的周長(zhǎng)的最小為：C1C2.

∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°

∴∠CC1C2＋∠CC2C1=180°－∠DCB=60°

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：∠CC1C2=∠ECD，∠CC2C1=∠FCB

∴∠ECD＋∠FCB=∠CC1C2＋∠CC2C1=60°

∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60°

故答案為：60°