【題目】綜合與探究
數(shù)學(xué)課上,老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進行操作活動,探究有關(guān)線段之間的關(guān)系.
問題情境:
如圖1,三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.將點C放在直線l上,點A,B位于直線l的同側(cè),過點A作AD⊥l于點D.
初步探究:
(1)在圖1的直線l上取點E,使BE=BC,得到圖2.猜想線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
變式拓展:
(2)小穎又拿了一張三角形紙片MPN繼續(xù)進行拼圖操作,其中∠MPN=90°,MP=NP.小穎在圖 1 的基礎(chǔ)上,將三角形紙片MPN的頂點P放在直線l上,點M與點B重合,過點N作NH⊥l于點 H.
請從下面 A,B 兩題中任選一題作答,我選擇_____題.
A.如圖3,當(dāng)點N與點M在直線l的異側(cè)時,探究此時線段CP,AD,NH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
B.如圖4,當(dāng)點N與點M在直線l的同側(cè),且點P在線段CD的中點時,探究此時線段CD,AD,NH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)CE=2AD;(2)A題:CP=AD+NH;B題:NH=CD+AD.
【解析】
(1) 過點B作BF⊥l于點F,通過已知條件證得△ACD≌△CBF,再通過等腰三角形性質(zhì)即可求解.
(2) ①過點B作BF⊥l于點F,通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN,即可得出邊邊之間關(guān)系.
②過點B作BF⊥l于點F,通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN,再通過邊邊轉(zhuǎn)化即可求解.
(1)CE=2AD,理由如下:
過點B作BF⊥l于點F,易得∠CFB=90°
∵AD⊥l
∴∠ADC=90°,∠CAD+∠DCA=90°
∴∠ADC=∠CFB
∵∠ACB=90°
∴∠DCA+∠BCF=90°
∴∠CAD=∠BCF
在△ACD和△CBF 中
∴△ACD≌△CBF(AAS)
∴AD=CF
∵BE=BC,BF⊥l
∴CF=EF
∴CE=2CF=2AD
(2)A.CP=AD+NH,理由如下:
過點B作BF⊥l于點F,易得∠BFP=90°,
由(1)可得:△ACD≌△CBF
∴AD=CF
∵NH⊥l
∴∠PHN=90°,∠HNP+∠HPN=90°
∴∠BFP=∠PHN
∵∠MPN=90°
∴∠HPN+∠FPB=90°
∴∠HNP=∠FPB
在△BFP和△PHN 中
∴△BFP≌△PHN(AAS)
∴NH=PF
∵CP=CF+PF
∴CP=AD+NH
B.NH=CD+AD,理由如下:
過點B作BF⊥l于點F,易得∠BFC=90°,
由(1)可得:△ACD≌△CBF
∴AD=CF
∵NH⊥l
∴∠PHN=90°,∠HNP+∠HPN=90°
∴∠BFP=∠PHN
∵∠MPN=90°
∴∠HPN+∠FPB=90°
∴∠HNP=∠FPB
在△BFP 和△PHN中
∴△BFP≌△PHN(AAS)
∴NH=PF
∵點P在線段CD的中點
∴CP=DP=CD
由圖得:PF=PC+CF
∴NH=CD+AD
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,邊長為6,D是BC邊上的動點,∠EDF=60°.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)當(dāng)BD=1,CF=3時,求BE的長.
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【題目】設(shè)中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評定成績?yōu)?/span>分,滿分為100分,規(guī)定:為級,為級,為級,為級.現(xiàn)隨機抽取某中學(xué)部分學(xué)生的綜合評定成績,整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了__________名學(xué)生;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,________%,級對應(yīng)的圓心角為______度;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生1200名,請你利用你所學(xué)的統(tǒng)計知識,估計綜合評定成績?yōu)?/span>級的學(xué)生有多少名?
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象的頂點為A.二次函數(shù)的圖象與x軸交于原點O及另一點C,它的頂點B在函數(shù)的圖象的對稱軸上.
(1)求點A與點C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形AOBC為菱形時,求函數(shù)的關(guān)系式.
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【題目】用直接開平方法解方程:
(1) 4(x-2)2-36=0;
(2) x2+6x+9=25;
(3) 4(3x-1)2-9(3x+1)2=0.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于半圓,AB是直徑,過A作直線MN,若∠MAC=∠ABC.
(1)求證:MN是半圓的切線;
(2)設(shè)D是弧AC的中點,連結(jié)BD交AC 于G,過D作DE⊥AB于E,交AC于F.求證:FD=FG.
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【題目】如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯,紙杯開口的直徑 EF 長為10cm,母線OE(OF)長為10cm,在母線OF 上的點A 處有一塊爆米花殘渣且FA=2cm,一只螞蟻從杯口的點E 處沿圓錐表面爬行到A 點,則此螞蟻爬行的最短距離為 cm.
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【題目】“校園手機”現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注.“五一”期間,小記者劉銘隨機調(diào)查了城區(qū)若干名學(xué)生和家長對中學(xué)生帶手機現(xiàn)象的看法,統(tǒng)計整理并制作了如下的統(tǒng)計圖:
(1)求這次調(diào)查的家長人數(shù),并補全圖①;
(2)求圖②中表示家長“贊成”的圓心角的度數(shù);
(3)如果該市有8萬名初中生,持“無所謂”態(tài)度的學(xué)生大約有多少人?
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