Question

操作與探究
如圖，已知△ABC．
（1）畫出∠B、∠C的平分線，交于點O；
（2）過點O畫EF∥BC，交AB于點E，AC于點F；
（3）寫出可用圖中字母表示的相等的角，并說明理由；
（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A，∠BOC的度數；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A，∠BOC的度數；
（5）根據（4）的解答，請你猜出∠BOC與∠A度數的大小關系這個結論對任意一個三角形都成立嗎？為什么？

Answer 1

解：①如圖
；
②如圖

③∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB（兩直線平行，同位角相等；）；
∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO（兩直線平行，內錯角相等；角平分線的性質）；
④當∠ABC=80°，∠ACB=60°時，∠A=180°-80°-60°=40°；∠BOC=180°-（∠B+∠C）=180°-∠（180°-∠A）=90°+∠A=110°；
同理若∠ABC=70°，∠ACB=50°，∠A=60°，∠BOC=120°；
⑤∠BOC=90°+∠A成立；
證明：∵∠BOC=∠180°-∠OBC-∠OCB，
∵∠OBC=∠B，∠OCB=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠BOC=180°-（∠B+∠C）=180°-∠（180°-∠A）=90°+∠A．
分析：（1）-（3）根據題意畫出圖形，再根據角平分線和平行線的性質找出相等的角；（4）根據平行線性質、三角形內角和定理可以求得∠A，∠BOC的度數．（5）由第四問可知∠BOC=90°+∠A．
點評：本題主要考查了平行線的性質、角平分線的性質，三角形內角和定理等知識點，學生們要靈活掌握并運用．