Question

如果兩個多邊形不僅相似（相似比不等于1），而且有一條公共邊，那么就稱這兩個多邊形是共邊相似多邊形．例如，圖①中，△ABC與△ACD是共AC邊相似三角形，圖②中，?ABCD與?CEFD是共CD邊相似四邊形．

（1）判斷下列命題的真假（在相應(yīng)括號內(nèi)填上“真”或“假”）：
①正三角形的共邊相似三角形是正三角形．

 

②如果兩個三角形是位似三角形，那么這兩個三角形不可能是共邊相似三角形．

 

（2）如圖③，在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，畫2個不全等的三角形，使這2個三角形均是與△ABC共BC邊的相似三角形．（要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明）
（3）圖④是相鄰兩邊長分別為a、b（a＞b）的矩形，圖⑤是邊長為c的菱形，圖⑥是兩底長分別為d、e，腰長為f（0＜e-d＜2f）的等腰梯形，判斷這三個圖形是否存在共邊相似四邊形？如果存在，直接寫出它們的共邊相似四邊形各邊的長度．
（4）根據(jù)（1）、（2）和（3）中獲得的經(jīng)驗回答：如果一個多邊形存在它的共邊相似多邊形，那么它必須滿足條件：

 

．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）①如果正三角形的共邊相似三角形存在，那么這兩個三角形一定全等，所以不合題意，為假命題．
②如果兩個三角形是位似三角形，這兩個三角形有公共邊，那么這兩個三角形只能重合，所以不可能是共邊相似三角形．
（2）根據(jù)題意畫出圖形即可，即：過點C做CD⊥AB，垂足為D．
（3）矩形可以存在（如黃金矩形分割），菱形不能存在，因為有一條邊相等，那么其余的邊也相等，不符合條件；等腰梯形存在共邊相似四邊形．
（4）由以上規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)如果一個多邊形存在它的共邊相似多邊形，那么它必須滿足條件至少有兩條邊不相等，或各邊長度不全相等．

解答：解：（1）①假．②真．

（2）如圖所示：
；


（3）該矩形存在共邊相似四邊形，各邊長有兩種情況，
分別是：①

b2

a

，b，

b2

a

，b；②

a2

b

，a，

a2

b

，a．
該菱形不存在共邊相似四邊形．
該等腰梯形存在共邊相似四邊形，各邊長有六種情況，
分別是：①

d2

e

，d，

fd

e

，

fd

e

；②

d2

f

，

ed

f

，d，d；③

ed

f

，

e2

f

，e，e；④e，

e2

d

，

ef

d

，

ef

d

；⑤f，

ef

d

，

f2

d

，

f2

d

；⑥

fd

e

，f，

f2

e

，

f2

e

．

（4）表述方法不唯一，如至少有兩條邊不相等，或各邊長度不全相等，等等．

點評：本題考查了平面幾何中的新定義問題，解決這種問題的關(guān)鍵是從題目中捕捉信息，理解概念，然后借用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決問題．