Question

如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，EF⊥DE且BF平分∠CBM，求證：DE=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作FG⊥AM于G，根據(jù)BF平分∠CBM，推得△FGB是等腰直角三角形，推出FG=BG，然后根據(jù)三角形相似推出EG=2FG，從而推出FG=EB，進(jìn)而推出FG=AE，最后根據(jù)AAS證得△ADE≌△GEF，即可證得結(jié)論；

解答：證明：作FG⊥AM于G，
∵BF平分∠CBM，
∴三角形BFG是等腰直角三角形，
∴FG=BG，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∵∠A=∠FGE=90°
∴△ADE∽△GEF，
∴

AE

AD

=

FG

EG

=

1

2

，
∴EG=2FG，
∴FG=BE，
∴FG=AE，
在△ADE與△GEF中，

∠ADE=∠FEB ∠A=∠FGE=90° FG=AE

，
∴△ADE≌△GEF（AAS），
∴DE=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，作FG⊥AM構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．