Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC的延長線上，連接EF與邊CD相交于點G，連接BE與對角線AC相交于點H，AE=CF，BE=EG．
（1）求證：EF∥AC；
（2）求∠BEF大�。�
（3）若EB=4，則△BAE的面積為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的判定及其性質(zhì)定理即可解決問題；
（2）作輔助線構(gòu)造出一對全等三角形，利用等邊三角形的判定及其性質(zhì)即可解決問題；
（3）借助旋轉(zhuǎn)變換將△BCG與△BAE拼接到一起，通過作輔助線求出△BHE的高，問題即可解決．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四邊形AEFC是平行四邊形，
故EF∥AC．
（2）連接BG
∵四邊形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；                  
故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE與△CBG中，

AB=BC ∠EAB=∠GCB AE=CG

，
∴△ABE≌CBG（SAS），
∴BE=BG；
又∵BE=EG，
∴BE=BG=EG，△BEG是等邊三角形，
故∠BEF=60°．
（3）延長EA到M，使AH=CG；過點M作MK⊥BE于點K；
∵△BEG是等邊三角形，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABE+∠CBG=90°-60°=30°；
在△ABM與△BCG中，

AM=CG ∠MAB=∠GCB AB=BC

，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴BM=BC=4，∠ABM=∠CBG；
故∠ABM+∠ABE=∠ABE+∠CBG=30°，
∴MK=

1

2

BH=2，
∴△BME的面積=

1

2

×4×2=4，△BAE的面積═

1

2

×4=2．

點評：考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形，結(jié)合等邊三角形的判定及其性質(zhì)來解決問題；對綜合運用能力及探究思維能力提出了較高的要求．