Question

如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．
（1）求證：四邊形ADCN是平行四邊形；
（2）若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定,平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）首先證明△ADM≌△CNM可得AD=CN，再由條件AD∥CN可證明四邊形ADCN是平行四邊形；
（2）首先根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠MCD=∠CDM，根據(jù)等角對等邊可得DM=CM，再根據(jù)對角線相等的四邊形是矩形可得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵CN∥AB，
∴∠1=∠2，
在△ADM和△CNM中，

∠1=∠2 AM=CM ∠AMD=∠CMN

，
∴△ADM≌△CNM（ASA），
∴AD=CN，
又∵CN∥AD，
∴四邊形ADCN是平行四邊形；

（2）∵∠AMD=2∠MCD，
∴∠MCD=∠CDM，
∴DM=CM，
∵四邊形ADCN是平行四邊形，
∴DM=

1

2

DN，CM=

1

2

AC，
∴DN=AC，
∴四邊形ADCN是矩形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與矩形的判定，關(guān)鍵是掌握對角線相等的四邊形是矩形．