Question

如圖，一次函數(shù)y=-

3

3

x+2

3

的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以M（1，0）為圓心的⊙M與y軸相切，點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從（1，0）向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)⊙M的半徑以每秒

1

2

個(gè)單位的速度擴(kuò)大，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)了

 

秒時(shí)，⊙M與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：M可能在OA上，也可能在OA的延長(zhǎng)線上，因而分兩種情況進(jìn)行討論，作M₁C⊥AB于點(diǎn)C．則△AM₁C∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，求得t的值．

解答：解：在y=-

3

3

x+2

3

中，令x=0，則y=2

3

，即B的坐標(biāo)是（0，2

3

），則OB=2

3

；
令y=0，在y=-

3

3

x+2

3

=0，解得：x=6，則A的坐標(biāo)是（6，0），則OA=6．
在直角△OAB中，AB=

OA2+OB2

=4

3

．
當(dāng)M在線段OA上時(shí)，如圖（1）：
作M₁C⊥AB于點(diǎn)C．則△AM₁C∽△ABO，
則

AM1

AB

=

M1C

OB

，即

1+ 1 2 t

2 3

=

3-2t

4 3

，
解得：t=1s；
當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖（2）
同理作M₂D⊥AB于點(diǎn)D．則△AM₂D∽△ABO，
則

AM2

AB

=

M2D

OB

，
則

2t+1-6

4 3

=

1+ 1 2 t

2 3

，
解得：t=7s．
故答案是：1或7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與相似三角形及直線與圓的位置關(guān)系，以及切線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．