【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=13,BE=4,點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),在折線段BA﹣AD上運(yùn)動(dòng),連接EF,當(dāng)EF⊥BC時(shí)停止運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF,交矩形的邊于點(diǎn)G,連接FG.設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為x,△EFG的面積為S.
(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)G恰好到達(dá)點(diǎn)D,此時(shí)x= ,當(dāng)EF⊥BC時(shí),x= ;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)S=15時(shí),求此時(shí)x的值.
【答案】(1)6;10;(2)S=x2+9x+12(0<x≤6);S=x2﹣21x+102(6<x≤10);(3)﹣6+2.
【解析】
(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),x=AB=6;當(dāng)EF⊥BC時(shí),AF=BE=4,x=AB+AF=6+4=10;
(2)分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),作GH⊥BC于H,則四邊形ABHG是矩形,證明△EFB∽△GEH,得出,求出EH=x,得出AG=BH=BE+EH=4+x,由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案;
②當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí),作FM⊥BC于M,則FM=AB=6,AF=BM,同①得△EFM∽△GEC,得出,求出GC=15﹣x,得出DG=CD﹣CG=x﹣9,EC=BC﹣BE=9,AF=x﹣6,DF=AD﹣AF=19﹣x,由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案;
(3)當(dāng)x2+9x+12=15時(shí),當(dāng)x2﹣21x+102=15時(shí),分別解方程即可.
(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),x=AB=6;
當(dāng)EF⊥BC時(shí),AF=BE=4,x=AB+AF=6+4=10;
故答案為:6;10;
(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°,CD=AB=6,AD=BC=13,
分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),如圖1所示:
作GH⊥BC于H,
則四邊形ABHG是矩形,
∴GH=AB=6,AG=BH,∠GHE=∠B=90°,
∴∠EGH+∠GEH=90°,
∵EG⊥EF,
∴∠FEB+∠GEH=90°,
∴∠FEB=∠EGH,
∴△EFB∽△GEH,
∴,即,
∴EH=x,
∴AG=BH=BE+EH=4+x,
∴△EFG的面積為S=梯形ABEG的面積﹣△EFB的面積﹣△AGF的面積=(4+4+x)×6﹣×4x﹣(6﹣x)(4+x)=x2+9x+12,
即S=x2+9x+12(0<x≤6);
②當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí),如圖2所示:
作FM⊥BC于M,則FM=AB=6,AF=BM,
同①得:△EFM∽△GEC,
∴,即,
解得:GC=15﹣x,
∴DG=CD﹣CG=x﹣9,
∵EC=BC﹣BE=9,AF=x﹣6,DF=AD﹣AF=19﹣x,
∴△EFG的面積為S=梯形CDFE的面積﹣△CEG的面積﹣△DFG的面積
=(9+19﹣x)×6﹣×9×(15﹣x)﹣(19﹣x)(x﹣9)=x2﹣21x+102
即S=x2﹣21x+102(6<x≤10);
(3)當(dāng)x2+9x+12=15時(shí),
解得:x=﹣6±(負(fù)值舍去),
∴x=﹣6+;
當(dāng)x2﹣21x+102=15時(shí),
解得:x=14±(不合題意舍去);
∴當(dāng)S=15時(shí),此時(shí)x的值為﹣6+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示.
(1)如圖,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60度.求證:a2=b(b+c).
(2)如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”.第一問(wèn)中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形,那么對(duì)于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,關(guān)系式a2=b(b+c)是否仍然成立?并證明你的結(jié)論.
(3)試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊的長(zhǎng),使這三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=75°,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△AB'C',連接BB',若BB'∥AC',則∠BAC′ 的度數(shù)是______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是一塊內(nèi)置量角器的等腰直角三角板,它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.已知量角器所在的半圓O的直徑DE與AB之間的距離為1,DE=4,AB=8,點(diǎn)N為半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AN交半圓或直徑DE于點(diǎn)M.
(1)當(dāng)AN經(jīng)過(guò)圓心O時(shí),求AN的長(zhǎng);
(2)如圖2,若N為量角器上表示刻度為90°的點(diǎn),求△MON的周長(zhǎng);
(3)當(dāng)時(shí),求△MON的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全面兩孩政策實(shí)施后,甲,乙兩個(gè)家庭有了各自的規(guī)劃.假定生男生女的概率相同,回答下列問(wèn)題:
(1)甲家庭已有一個(gè)男孩,準(zhǔn)備再生一個(gè)孩子,則第二個(gè)孩子是女孩的概率是 ;
(2)乙家庭沒有孩子,準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子,求至少有一個(gè)孩子是女孩的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是OA的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,已知S△AEF=4,則下列結(jié)論:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正確的是( 。
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5),B(﹣4,3),C(﹣1,1).寫出各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)_____,_____,_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn),且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.
(Ⅰ)求證:OB⊥OC;
(Ⅱ)求CG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),則下列結(jié)論:
①4a+2b<0;
②﹣1≤a≤;
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;
④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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