Question

（本題滿分12分）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處（如圖1）．

（1）若折疊后點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的度數(shù)；

（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，

①點B落在點四邊形OABC的邊AB上的E處（如圖3），求a的值；

②若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）30°；（2）①，②．

【解析】

試題分析：（1）延長ND交OA的延長線于M，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由點D為AB的中點得到D點為MN的中點，所以O(shè)D垂直平分MN，則OM=ON，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠MOD=∠NOD=θ，則∠θ+∠θ+∠θ=90°，計算得到∠θ=30°；

（2）①作ED⊥OA于D，根據(jù)折疊性質(zhì)得AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，則∠A=45°，所以△ADE為等腰直角三角形，則AD=DE=2，所以O(shè)A=OD+AD=3+2=5，即a=5；

②若點E落在四邊形OABC的外部，則．

試題解析：（1）如圖2，延長ND交OA的延長線于M，

∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，

∵點D為AB的中點，∴D點為MN的中點，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，

∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案為30°；

（2）①如圖3，作ED⊥OA于D，

∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點B落在點四邊形OABC的邊AB上的E處，

∴AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，

∵θ=45°，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，∴∠A=45°，∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5；

②若點E落在四邊形OABC的外部，則．

考點：翻折變換（折疊問題）．