Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，連結(jié)OE、AC、BC，已知∠POE=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若BD=2OD，且PB=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)圓周角定理得∠POE=2∠A，則∠A=∠PCB，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，則∠A+∠ABC=90°，由OC=OB得到∠ABC=∠OCB，得到∠OCB+∠PCB=90°，所以O(shè)C⊥PC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OC=R，OP=R+12，OD=

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3

R，證明△COD∽△POC，然后利用相似比即可得到R的值．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵∠POE=2∠PCB，
而∠POE=2∠A，
∴∠A=∠PCB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
而OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠A+∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠PCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OC=R，OP=R+12，
∵BD=2OD，
∴OD=

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3

R，
∵CE⊥AB，
∴∠ODC=90°，
∵∠COD=∠POC，
∴△COD∽△POC，
∴OC：OP=OD：OC，即R：（R+12）=

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3

R：R，
∴R=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．