Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．點(diǎn)P，Q同時(shí)由B，A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿射線BC，AC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？
（2）連結(jié)BQ，幾秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，當(dāng)0＜x＜6時(shí)，當(dāng)6＜x＜8時(shí)，當(dāng)x＞8時(shí)，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；
（2）分別根據(jù)①當(dāng)BP=BQ時(shí)，②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，③當(dāng)BP=PQ時(shí)，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，△PCQ的面積是△ABC面積的一半，
當(dāng)0＜x＜6時(shí)，
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×（8-x）×（6-x）=

1

2

×24，
x²-14x+24=0，
（x-2）（x-12）=0，
x₁=12（舍去），x₂=2；
當(dāng)6＜x＜8時(shí)，

1

2

×（8-x）×（x-6）=

1

2

×24，
x²-14x+72=0，
b²-4ac=196-288=-92＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，
當(dāng)x＞8時(shí)，
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×（x-8）×（x-6）=

1

2

×24，
x²-14x+24=0，
（x-2）（x-12）=0，
x₁=12，x₂=2（舍去），
所以，當(dāng)2秒或12秒時(shí)使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．

（2）設(shè)t秒后△BPQ是等腰三角形，
①當(dāng)BP=BQ時(shí)，t²=6²+（8-t）²，
解得：t=

25

4

；
②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，（6-t）²+（8-t）²=6²+（8-t）²，
解得：t=12；
③當(dāng)BP=PQ時(shí)，t²=（6-t）²+（8-t）²，
解得：t=14±4

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于表示出三角形面積進(jìn)而得出等量關(guān)系求解．