Question

如圖1，四邊形ABCD中，AC、BD為它的對(duì)角線，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），EF∥AC交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥BD交DC于點(diǎn)G，GH∥AC交AD于點(diǎn)H，連接HE．記四邊形EFGH的周長(zhǎng)為P，如果在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P的值不變，則我們稱四邊形ABCD為“Ω四邊形”，此時(shí)P的值稱為它的“Ω值”．經(jīng)過(guò)探究，可得矩形是“Ω四邊形”．如圖2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，則它的“Ω值”為

 

．

（1）等腰梯形

 

 （填“是”或“不是”）“Ω四邊形”；
（2）如圖3，BD是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，AD=3，AB=4，點(diǎn)C為

AB

上的一動(dòng)點(diǎn)，將△DAB沿CD的中垂線翻折，得到△CEF．當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，以A、B、C、D、E、F中的任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的“Ω四邊形”最多，最多有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：證明矩形ABCD是Ω四邊形，只要證明HE∥BD，即可證得．
（1）利用與上邊相同的方法即可證得等腰梯形的周長(zhǎng)是對(duì)角線長(zhǎng)的2倍；
（2）根據(jù)矩形和（1）可以得到對(duì)角線相等的四邊形一定是Ω四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，找到圖形中相等的線段，即可確定四邊形．

解答：解：∵EF∥AC，
∴

AE

BE

=

CF

BF

，
同理，

CF

BF

=

CG

DG

，

CG

DG

=

AH

DH

，
∴

AE

BE

=

AH

DH

，
∴EH∥BD．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

=

BF

BC

，
同理，

GF

BD

=

CF

BC

，
∴

EF

AC

+

GF

BD

=

BF+CF

BC

=

BC

BC

=1，
又∵AC=BD，
∴EF+GF=AC，
同理可證：EH+GH=AC．
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)是2AC=10．
（1）同上，可證得四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于2AC，則等腰梯形是Ω四邊形；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：BD=CF，AD=CE，AB=EF，
易得四邊形BCDF，四邊形ACDE，四邊形BAEF，為Ω四邊形．
當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

AB

中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)還有兩個(gè)Ω四邊形：四邊形ADFC，四邊形BCED．
則Ω四邊形有：四邊形BCDF，四邊形ACDE，四邊形BAEF，四邊形ADFC，四邊形BCED．共5個(gè)．


故答案是：10，是，5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，正確證明矩形和等腰梯形中EH∥BD是關(guān)鍵．